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Professor Suzuki und seine drei Kinder

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


15. Professor Suzuki und Professor Baba begegnen sich in der Mensa der Waseda-Universität.
Suzuki: "Guten Abend, mein Bester. Wie geht es Ihnen?"
Baba: "Hervorragend, danke. Und Ihnen?"
Suzuki: "Sehr gut. Sie wissen, dass ich inzwischen drei Kinder habe ..."
Baba: "Wirklich? Wie alt sind sie denn?"
Suzuki: "Nun, Sie als guter Mathematiker und Logiker dürften es rasch herausbekommen.
Das Produkt ihrer Lebensalter ist 36, und die Summe ihrer Lebensalter ist identisch mit der Nummer des Hauses, das Sie in Osaka bewohnten."
Baba (nach einer Pause): "Diese Informationen reichen mir nicht."
Suzuki: "Sie haben recht. Also, das älteste Kind hat blaue Augen."
Baba: "Aha, jetzt weiß ich, wie alt sie sind."
Wie alt sind die Kinder im Einzelnen?

Das Alter der drei Kinder soll natürlich als ganzzahlig angenommen werden. Es gibt insgesamt 8 verschiedene Möglichkeiten, aus einem Produkt von drei positiven ganzen Zahlen als Ergebnis 36 zu erhalten. Man findet diese Lösungen leichter, wenn man zuerst die Zahl 36 in ihre Primfaktoren zerlegt (36 = 2 · 2 · 3 · 3). Dabei muss man allerdings beachten, dass die Faktoren in dem gesuchten Produkt auch den Wert 1 haben können. Die folgende Tabelle zeigt die 8 möglichen Produkte zusammen mit der Summe:

1 · 1 · 36 = 36;   Summe: 38
1 · 2 · 18 = 36;   Summe: 21
1 · 3 · 12 = 36;   Summe: 16
1 · 4 ·   9 = 36;   Summe: 14
1 · 6 ·   6 = 36;   Summe: 13
2 · 2 ·   9 = 36;   Summe: 13
2 · 3 ·   6 = 36;   Summe: 11
3 · 3 ·   4 = 36;   Summe: 10

Professor Baba kennt natürlich die Nummer des Hauses, das er in Osaka bewohnte. Trotzdem sagt er, dass ihm die Informationen nicht reichen. Er kennt also immer noch nicht das Alter der Kinder. Das ist nur dann möglich, wenn es zu seiner Hausnummer mehr als eine mögliche Lösung gibt. Also muss die Nummer seines ehemaligen Hauses 13 betragen. Nur dann gibt es nämlich zwei Möglichkeiten und das Ergebnis ist damit noch nicht eindeutig. Die Zusatzinformation besagt dann aber, dass es ein ältestes Kind gibt. Nun weiß Professor Baba, dass von den beiden Möglichkeiten die ausscheidet, bei der es zwei älteste Kinder gibt. Die Kinder müssen deshalb die folgenden Alter haben:

2 Jahre, 2 Jahre und 9 Jahre

Was ist verblüffend an diesem Matherätsel? Viele glauben intuitiv, dass dieses Matherätsel nicht lösbar sei, weil es nicht genügend Informationen gebe. Die verdeckte Information wird zunächst nicht erkannt.


Mathematisch gesehen wird bei diesem Matherätsel eine positive ganze Zahl mit folgenden Eigenschaften gesucht:

1. Wenn man die gesuchte Zahl auf alle möglichen Arten in 3 positive ganzzahlige Faktoren zerlegt und die Summe dieser Faktoren bildet, dann muss es eine Summe geben, die mehr als einmal vorkommt.

2. Nur bei einer dieser Zerlegungen, bei denen die Summen gleich sind, darf der größte Faktor größer als die beiden anderen sein.

Tatsächlich ist 36 die kleinste Zahl mit diesen Eigenschaften.

Die nächsten Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind die 72 und die 225:

2 ·   6 ·   6 =   72;   Summe: 14
3 ·   3 ·   8 =   72;   Summe: 14

1 · 15 · 15 = 225;   Summe: 31
3 ·   3 · 25 = 225;   Summe: 31

Wie bei der 36 gibt es auch hier jeweils zwei unterschiedliche Zerlegungen mit der gleichen Summe der Faktoren, wobei jeweils nur eine Zerlegung einen größten Faktor besitzt. Bemerkenswert ist, dass bei allen drei Zahlen (36, 72 und 225) auch nur eine Zerlegung einen kleinsten Faktor besitzt, und dass die 36, 72 und 225 auch noch die drei kleinsten derartigen Zahlen sind.

Die nächsten 5 Zahlen, mit denen man das Matherätsel entweder für ein jüngstes oder ein ältestes Kind formulieren könnte, sind:

1 · 13 · 18 = 234;   Summe: 32
3 ·   3 · 26 = 234;   Summe: 32

1 · 12 · 21 = 252;   Summe: 34
3 ·   3 · 28 = 252;   Summe: 34

2 · 10 · 16 = 320;   Summe: 28
4 ·   4 · 20 = 320;   Summe: 28

4 · 12 · 12 = 576;   Summe: 28
6 ·   6 · 16 = 576;   Summe: 28

2 · 18 · 18 = 648;   Summe: 38
3 ·   8 · 27 = 648;   Summe: 38


Die Web-Seite Matherätsel - Der Bischof und die drei Kirchenbesucher beschreibt ein ähnliches, aber schwierigeres Matherätsel.


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