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Der Bischof und die drei Kirchenbesucher

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


16. Ein Pfarrer sagt zum Organisten: "Heute waren nur drei Leute in der Kirche."
Organist: "Wie alt waren denn die drei?".
Pfarrer: "Also, wenn du die jeweiligen Alter miteinander multiplizierst, dann ergibt das 2450. Zusammen genommen sind sie so alt wie du."
Organist: "Hmm, also mit diesen Informationen kann ich das ja wohl noch nicht lösen!".
Pfarrer: "Ach ja, ich muss noch erwähnen, dass alle drei jünger waren als unser Bischof!"
Organist: "Aha, jetzt hab ich's!"
Wie alt ist der Bischof?

Das Alter der drei Kirchenbesucher soll natürlich als ganzzahlig angenommen werden. Es gibt insgesamt 20 verschiedene Möglichkeiten, aus einem Produkt von drei natürlichen Zahlen als Ergebnis 2450 zu erhalten. Man findet diese Lösungen leichter, wenn man zuerst die Zahl 2450 in ihre Primfaktoren zerlegt (2450 = 2 · 5 · 5 · 7 · 7). Dabei muss man allerdings beachten, dass die Faktoren in dem gesuchten Produkt auch den Wert 1 haben können. Die folgende Tabelle zeigt die 20 möglichen Produkte zusammen mit der Summe, wobei viele Fälle aus biologischen Gründen nur theoretische Bedeutung haben:

1 ·   1 · 2450;   Summe: 2452
1 ·   2 · 1225;   Summe: 1228
1 ·   5 ·   490;   Summe:   496
1 ·   7 ·   350;   Summe:   358
1 · 10 ·   245;   Summe:   256
1 · 14 ·   175;   Summe:   190
1 · 25 ·     98;   Summe:   124
1 · 35 ·     70;   Summe:   106
1 · 49 ·     50;   Summe:   100

2 ·   5 ·   245;   Summe:   252
2 ·   7 ·   175;   Summe:   184
2 · 25 ·     49;   Summe:     76
2 · 35 ·     35;   Summe:     72

5 ·   5 ·     98;   Summe:   108
5 ·   7 ·     70;   Summe:     82
5 · 10 ·     49;   Summe:     64 #
5 · 14 ·     35;   Summe:     54

7 ·   7 ·     50;   Summe:     64 #
7 · 10 ·     35;   Summe:     52
7 · 14 ·     25;   Summe:     46

Da der Organist die Aufgabe mit diesen Informationen noch nicht lösen kann, muss er 64 Jahre alt sein. Denn nur wenn die Summe 64 (mit # gekennzeichnet) beträgt, ist das Produkt nicht eindeutig. Es gibt dann nämlich zwei Möglichkeiten für das Alter der Kirchenbesucher.

Da die zusätzliche Information besagt, dass der Bischof älter ist als jeder der 3 Kirchenbesucher, muss er mindestens 50 Jahre alt sein.

Wäre der Bischof allerdings 51 Jahre oder älter, kämen beide Möglichkeiten für das Alter der Kirchenbesucher in Frage und der Organist könnte die Aufgabe immer noch nicht lösen.

Da aber der Organist die Lösung jetzt weiß, kann der Bischof nur 50 Jahre alt sein. Dementsprechend sind die Kirchenbesucher 5 Jahre, 10 Jahre und 49 Jahre alt. Denn nur dann sind alle Kirchenbesucher jünger als der Bischof.

Der Bischof ist also 50 Jahre alt.

Was ist verblüffend an diesem Matherätsel? Viele glauben intuitiv, dass dieses Matherätsel nicht eindeutig lösbar sei, weil die gegebenen Informationen nicht ausreichten.


Mathematisch gesehen wird bei diesem Matherätsel eine positive ganze Zahl mit folgenden Eigenschaften gesucht:

1. Wenn man die gesuchte Zahl auf alle möglichen Arten in 3 positive ganzzahlige Faktoren zerlegt und die Summe dieser Faktoren bildet, dann muss es eine Summe geben, die mehr als einmal vorkommt.

2. Bei den Zerlegungen, bei denen die Summen gleich sind, muss der größte der jeweils größten Faktoren um genau 1 größer als der zweitgrößte der größten Faktoren.

Tatsächlich ist 2450 die kleinste Zahl mit diesen Eigenschaften.

Die nächsten Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, sind die 28 730, die 167 772 und die 197 370:

10 · 17 · 169 =   28.730;   Summe: 196
13 · 13 · 170 =   28.730;   Summe: 196

31 · 44 · 123 = 167.772;   Summe: 198
33 · 41 · 124 = 167.772;   Summe: 198

43 · 54 ·   85 = 197.370;   Summe: 182
45 · 51 ·   86 = 197.370;   Summe: 182


Die Web-Seite Matherätsel - Professor Suzuki und seine drei Kinder beschreibt ein ähnliches, aber einfacheres Matherätsel.


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