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Reisezeiten mit einem interstellaren Raumschiff

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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Nach den Gesetzen der speziellen Relativitätstheorie wäre es für einen Raumfahrer während seines Lebens tatsächlich möglich, selbst die entferntesten Galaxien zu erreichen. Dazu müsste sein Raumschiff in der Lage sein, auf der ersten Hälfte der Reise mit einer konstanten Beschleunigung von 9,81 m/sec2 zu beschleunigen und auf der zweiten Hälfte der Reise in gleicher Weise wieder abzubremsen. Die Beschleunigung und Abbremsung würden dann im Raumschiff eine künstliche Schwerkraft erzeugen, die den Bedingungen auf der Erdoberfläche entspräche. Der Raumfahrer hätte im Raumschiff also das gleiche Gewicht wie auf der Erde.

Die technischen Schwierigkeiten z.B. für den Antrieb, die Energieversorgung und für den Schutzschild gegen interplanetaren und interstellaren Staub sind aber so groß, dass man vermutlich nie auf diese Weise Reisen weit jenseits unseres Sonnensystems wird unternehmen können. Aus diesen und anderen Gründen halte ich es auch für extrem unwahrscheinlich, dass intelligente außerirdische Lebewesen uns mit Raumschiffen erreichen können.

Trotzdem ist es interessant, sich klarzumachen, in welchen Zeiten und mit welchen Geschwindigkeiten der Raumfahrer welche Entfernungen überwinden könnte. Nach der speziellen Relativitätstheorie von Einstein verläuft die Zeit im Raumschiff im Vergleich zur Erde umso langsamer, je länger das Raumschiff beschleunigt wird. Dadurch könnte ein Raumfahrer während seines Lebens tatsächlich sehr weit entfernte Ziele erreichen. Allerdings wäre bei seiner Rückkehr unter Umständen auf der Erde schon so viel Zeit vergangen, dass er keine ihm bekannte Person, eventuell sogar nicht einmal mehr Menschen dort antreffen würde. Es könnte sogar sein, dass nicht einmal mehr die Erde existieren würde.

Die folgende Tabelle enthält die Reisezeiten des Raumfahrers, die auf der Erde vergangenen Zeiten und die Höchstgeschwindigkeiten des Raumschiffs für verschiedene Reiseentfernungen (Formeln am Ende der Seite).
Dabei ist ein Lichtjahr die Strecke, die das Licht mit seiner Geschwindigkeit von c = 299.792,458 km/s in einem Jahr zurücklegt. Die Länge dieser Strecke beträgt etwa 9,46 Billionen km.


EntfernungReisezeitvergangene ZeitHöchstgeschwindigkeit
von der Erdefür Raumfahrerfür Erdbewohnerdes Raumschiffs
 
1 Milliarde km  7,39 Tage7,39 Tage3132 km/s
10 Milliarden km23,4   Tage23,4 Tage9900 km/s
100 Milliarden km73,9   Tage74,0 Tage31 193 km/s
1 Billion km  0,64 Jahre0,65 Jahre95 193 km/s
1 Lichtjahr  1,89 Jahre2,21 Jahre225 357 km/s
10 Lichtjahre  4,85 Jahre11,8 Jahre295 820 km/s
100 Lichtjahre  9,02 Jahre102 Jahre299 738 km/s
1000 Lichtjahre13,4   Jahre1002 Jahre299 791,9 km/s
10 000 Lichtjahre17,9   Jahre10 002 Jahre299 792,452 km/s
100 000 Lichtjahre22,3   Jahre100 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
1 Million Lichtjahre26,8   Jahre1 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
10 Millionen Lichtjahre31,3   Jahre10 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
100 Millionen Lichtjahre35,7   Jahre100 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
1 Milliarde Lichtjahre40,2   Jahre1 000 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
10 Milliarden Lichtjahre44,7   Jahre10 000 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)


Die zweite Tabelle enthält wieder Reiseentfernungen, Reisezeiten und Höchstgeschwindigkeiten, aber diesmal für eine Reihe von bekannten kosmischen Zielen:


Reise vonEntfernungReisezeitvergangene ZeitHöchstgeschwindigkeit
der Erde zumvon der Erdefür Raumfahrerfür Erdbewohnerdes Raumschiffs
 
Erdmond 384000 km3,48 Stunden3,48 Stunden61,4 km/s
Venus 39 Millionen km (minimal)1,46 Tage1,46 Tage619 km/s
Mars 55 Millionen km (minimal)1,73 Tage1,73 Tage735 km/s
Jupiter 590 Millionen km (minimal)5,68 Tage5,68 Tage2406 km/s
Saturn 1,20 Milliarden km (minimal)8,10 Tage8,10 Tage3431 km/s
Uranus 2,59 Milliarden km (minimal)11,9 Tage11,9 Tage5040 km/s
Neptun 4,31 Milliarden km (minimal)15,3 Tage15,3 Tage6501 km/s
Proxima Centauri (Sternbild Zentaur) 4,24 Lichtjahre3,54 Jahre5,87 Jahre284 673 km/s
Alpha Centauri (Sternbild Zentaur) 4,36 Lichtjahre3,58 Jahre5,99 Jahre285 259 km/s
Sirius (Sternbild Großer Hund) 8,6 Lichtjahre4,61 Jahre10,4 Jahre294 684 km/s
Epsilon Eridani* (Sternbild Eridanus)10,5 Lichtjahre4,93 Jahre12,3 Jahre296 135 km/s
Tau Ceti* (Sternbild Walfisch) 11,9 Lichtjahre5,14 Jahre13,7 Jahre296 841 km/s
40 Eridani A* (Sternbild Eridanus) 16,5 Lichtjahre5,70 Jahre18,3 Jahre298 134 km/s
Wega (Sternbild Leier) 25 Lichtjahre6,44 Jahre26,9 Jahre299 017 km/s
Arktur (Sternbild Bootes) 37 Lichtjahre7,15 Jahre38,9 Jahre299 421 km/s
Aldebaran (Sternbild Stier) 67 Lichtjahre8,26 Jahre68,9 Jahre299 674 km/s
Dubhe (im Großen Wagen) 124 Lichtjahre9,43 Jahre126 Jahre299 757 km/s
Plejaden (Siebengestirn) 370 Lichtjahre11,5 Jahre372 Jahre299 788 km/s
Polarstern (im Kleinen Wagen) 430 Lichtjahre11,8 Jahre432 Jahre299 789 km/s
Rigel (Sternbild Orion) 800 Lichtjahre13,0 Jahre802 Jahre299 791,6 km/s
Zentrum der Milchstraße 26 000 Lichtjahre19,8 Jahre26 002 Jahre299 792,457 km/s
Große Magellansche Wolke 160 000 Lichtjahre23,3 Jahre160 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
Andromeda-Galaxie (M31) 2,6 Millionen Lichtjahre28,7 Jahre2 600 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
Feuerrad-Galaxie (M101) 27 Millionen Lichtjahre33,2 Jahre27 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
Spiralgalaxie NGC 1232 85 Millionen Lichtjahre35,4 Jahre85 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
Rand des sichtbaren Universums 46 Milliarden Lichtjahre47,6 Jahre46 000 000 002 Jahre299 792,458 km/s (fast)
* sonnenähnlicher Stern


Aus den Tabellen kann man entnehmen, dass der Raumfahrer während seines Lebens rein theoretisch jedes bekannte Objekt des Universums erreichen könnte. Allerdings gelten die Reisezeiten nur für ein Universum, dass sich nicht ausdehnt. Da aber unser Universum expandiert, sind die Ergebnisse für Reiseentfernungen von mehreren Milliarden Lichtjahren nicht mehr exakt. Außerdem existieren eventuell die Reiseziele bei der Ankunft gar nicht mehr, weil wir momentan diese Ziele so sehen, wie sie in der Vergangenheit aussahen, als das entsprechende Licht dort abgestrahlt wurde.

Die eben beschriebenen Reisen sind nach dem Kenntnisstand der Physik wenigstens theoretisch möglich. Dafür bräuchte man allerdings einem Photonen-Antrieb, bei dem die Photonen durch Fusion von Materie und Antimaterie erzeugt würden. Dagegen sind Reisen durch Wurmlöcher oder Reisen mit Warp-Antrieb nach dem Kenntnisstand der Physik nicht möglich. Hierfür würde man nämlich eine hypothetische Materieform (Materie mit negativer Masse) benötigen, die man bisher nicht entdeckt hat und die vermutlich auch gar nicht existiert. Außerdem müsste man im Gegensatz zur zuvor erwähnten Möglichkeit die Raumzeit verändern. Man müsste sie krümmen, um Abkürzungen zum Reiseziel zu ermöglichen.

Um zu zeigen, dass selbst eine Photonen-Rakete mit Materie und Antimaterie als Treibstoff nichts mit der Realität zu tun hat, wähle ich als Beispiel die oben erwähnte Reise zum nur 25 Lichtjahre entfernten Fixstern Wega. Die Rakete müsste dafür 99,74% der Lichtgeschwindigkeit erreichen. Das eigentliche Raumschiff, also die Nutzlast, soll eine Masse von nur 100 000 Tonnen haben (u.a. für Maschinen zur Versorgung mit Energie, Sauerstoff, Nahrung und Wasser, für die Abschirmung gegen kosmische Strahlung, und für Maschinen, die am Zielort das langfristige Überleben ermöglichen). Selbst wenn man die Masse für das Photonen-Triebwerk und die Treibstoffbehälter nicht berücksichtigt, benötigt man nach der relativistischen Raketenformel etwa 77 Millionen Tonnen an Treibstoff (50% Materie und 50 % Antimaterie):

Endmasse / Anfangsmasse = ((1 - Endgeschwindigkeit / c) / (1 + Endgeschwindigkeit / c))c/(2·Triebwerksstrahlgeschwindigkeit)

Das ist die 770-fache Masse des Raumschiffs. Dieser Treibstoff erzeugt eine Energie von etwa 7 Quadrilliarden Joule. Das entspricht der Energiemenge, die die ganze Erde in etwa 1250 Jahren von der Sonne (Solarkonstante: 1367 Joule pro Sekunde und Quadratmeter) erhält. Wenn man sich dann noch klarmacht, dass es für Antimaterie keine Lagerstätten gibt wie für Kohle oder Uran, sondern dass man die Antimaterie erst künstlich mit Hilfe eines Mehrfachen der eben genannten Energiemenge herstellen muss, dass außerdem kein Mensch weiß, wie man Antimaterie sicher in einer Rakete transportieren kann, und dass schließlich kein Mensch eine Idee hat, wie ein entsprechendes Triebwerk aussehen könnte, bekommt man eine Ahnung davon, dass eine bemannte interstellare Raumfahrt wohl für immer eine Fiktion bleiben wird.



Für die mathematisch Interessierten kommen jetzt noch die Formeln, mit denen man die auf der Erde und die im Raumschiff vergangene Zeit in Abhängigkeit von der Entfernung zum Reiseziel berechnen kann:

tr = c / br · arcosh(xe · br / c2 + 1)

te = c / br · √((xe · br / c2 + 1)2 – 1)

In den Formeln ist xe die Entfernung des Raumschiffs von der Erde, te die auf der Erde und tr die im Raumschiff verflossene Zeit. br bezeichnet die konstante Beschleunigung, mit der das Raumschiff seine Geschwindigkeit erhöht, und c = 299 792 458 m/s ist die Lichtgeschwindigkeit. Für die obigen Tabellen wurde für br die Erdbeschleunigung angenommen:

br = 9,81 m/sec2

Zur Berechnung ist noch wichtig, für xe die halbe Entfernung zum Reiseziel einzusetzen, weil die Reise ja aus einer Beschleunigungsphase und einer dazu symmetrischen Bremsphase besteht. Das berechnete te oder tr muss dann natürlich verdoppelt werden, um die gewünschten Reisezeiten zu erhalten.

Ist xe klein, gehen die relativistischen Formeln in die klassischen Formeln über:

tr = c / br · ln(xe · br / c2 + 1 + √((xe · br / c2 + 1)2 – 1))
= c / br · ln(1 + √(2 · xe · br / c2)) = c / br · √(2 · xe · br / c2) = √(2 · xe / br)

te = c / br · √((2 · xe · br / c2 + 1) – 1) = c / br · √(2 · xe · br / c2) = √(2 · xe / br)

Für Berechnung der Geschwindigkeit v am Ende der Beschleunigungsphase gilt schließlich die Formel:

v = br · te / √((br · te / c)2 + 1)

Ist der Ausdruck br · te klein gegen c, so erhält man die klassische Formel:

v = br · te




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