quadratsumme

Platonische und Archimedische Parkettierungen

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

E-Mail gerne an: werner.brefeld@web.de (Fragen werden beantwortet und auf Bemerkungen wird eingegangen.)


Siehe dazu auch mein Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

Während platonische Parkette nur regelmäßige Vielecke einer Sorte besitzen, haben archimedische Parkette regelmäßige Vielecke von mehr als einer Sorte. Außerdem dürfen hier die Eckpunkte der Vielecke nur mit den Eckpunkten der anderen Vielecke zusammenstoßen. Und an jedem Punkt, an dem die Vielecke zusammenstoßen, muss Anordnung der Vielecke gleich sein. Es gibt 3 platonische Parkette und 8 archimedische Parkette, wobei erwähnt werden sollte, dass das archimedisches Parkett 3-3-3-3-6 in zwei spiegelbildlich entgegengesetzten Varianten auftritt. Die folgende Abbildung zeigt die 3 platonischen Parkette und die 8 archimedischen Parkette:


parkettierungen


Dass es nicht mehr Parkette dieser Art gibt, kann man durch Betrachtung der Anordnung und der Innenwinkel der an jedem Punkt zusammenstoßenden Vielecke zeigen. Es müssen ja an jedem Punkt mindestens 3 Vielecke zusammenstoßen und die Summe ihrer zusammenstoßenden Innenwinkel muss gleich 360° sein. Daraus folgt, dass es nur 3 platonische Parkette geben kann, weil man nur 6 gleichseitige Dreiecke, 4 Quadrate oder 3 regelmäßige Sechsecke unter den angegebenen Bedingungen zusammenfügen kann.

Überträgt man diese Überlegungen auf den dreidimensionalen Raum, so muss man platonische und archimedische Körper suchen, die den Raum lückenlos füllen können. Dies sind die 10 Möglichkeiten, wobei jeweils die Anzahl der Polyeder angegeben ist, deren Ecken an einem Punkt zusammenstoßen:

8 Würfel
4 abgestumpfte Oktaeder
8 Tetraeder + 6 Oktaeder
4 Kuboktaeder + 2 Oktaeder
4 abgestumpfte Hexaeder + 1 Oktaeder
6 abgestumpfte Tetraeder + 2 Tetraeder
3 Rhombenkuboktaeder + 1 Würfel + 1 Tetraeder
2 Rhombenkuboktaeder + 2 Würfel + 1 Kuboktaeder
2 abgestumpfte Oktaeder + 2 abgestumpfte Tetraeder + 1 Kuboktaeder
2 abgestumpfte Kuboktaeder + 1 abgestumpfter Oktaeder + 1 Würfel



Erzeugung von platonischen und archimedischen Parketten aus platonischen Parketten

Schneidet man bei einem Parkett aus gleichseitigen Dreiecken (Parkett 3-3-3-3-3-3) die Ecken der gleichseitigen Dreiecke so ab, dass daraus regelmäßige Sechsecke werden und füllt die entstehenden Lücken mit regelmäßigen Sechsecken, so ergibt sich ein Parkett aus regelmäßigen Sechsecken (Parkett 6-6-6). Schneidet man die Ecken der Dreiecke noch weiter ab, so dass daraus wieder (allerdings kleinere) gleichseitige Dreiecke werden und füllt die größer gewordenen Lücken wieder mit gleichseitigen Sechsecken, so erhält man das Parkett 3-3-3-3-6.

Schneidet man bei einem Parkett aus Quadraten (Parkett 4-4-4-4) die Ecken der Quadrate so ab, dass daraus regelmäßige Achtecke werden und füllt die entstehenden Lücken mit Quadraten, so ergibt sich das Parkett 4-8-8. Schneidet man die Ecken der Quadrate noch weiter ab, so dass aus den Quadraten wieder (allerdings kleinere) Quadrate werden und füllt die größer gewordenen Lücken wieder mit Quadraten, so erhält man wieder ein Parkett aus Quadraten, allerdings um 45° gedreht.

Schneidet man bei einem Parkett aus regelmäßigen Sechsecken (Parkett 6-6-6) die Ecken der Regelmäßigen Sechsecke so ab, dass daraus regelmäßige Zwölfecke werden und füllt die entstehenden Lücken mit gleichseitigen Dreiecken, so ergibt sich das Parkett 3-12-12. Schneidet man die Ecken der Sechsecke noch weiter ab, so dass aus den Sechsecken wieder (allerdings kleinere) regelmäßige Secksecke werden und füllt die größer gewordenen Lücken wieder mit gleichseitigen Dreiecken, so erhält man das Parkett 3-6-3-6.



Erzeugung eines weiteren archimedischen Parketts aus einem archimedischen Parkett

Entfernt man beim Parkett 3-12-12 die gleichseitigen Dreiecke und zieht die regelmäßigen Zwölfecke so weit auseinander, dass Quadrate und regelmäßige Sechsecke in die Lücken passen,
erhält man das Parkett 4-6-12.



Erzeugung von platonischen Parketten aus platonischen Körpern
(siehe dazu die Web-Seite über platonische und archimedische Körper)

Trennt man die Oberfläche eines Ikosaeders auf und fügt an jeder Ecke ein weiteres (sechstes) gleichseitiges Dreieck hinzu,
erhält man das Parkett 3-3-3-3-3-3 (Parkett aus gleichseitigen Dreiecken).

Trennt man die Oberfläche eines Würfels auf und fügt an jeder Ecke ein weiteres (viertes) Quadrat hinzu,
erhält man das Parkett 4-4-4-4 (Parkett aus Quadraten).

Trennt man die Oberfläche eines Dodekaeders auf und ersetzt an jeder Ecke die 3 regelmäßigen Fünfecke durch 3 regelmäßige Sechsecke,
erhält man das Parkett 6-6-6 (Parkett aus regelmäßigen Sechsecken).



Erzeugung von archimedischen Parketten aus archimedischen Körpern
(siehe dazu die Web-Seite über platonische und archimedische Körper)

Trennt man die Oberfläche eines abgestumpften Oktaeders auf und ersetzt an jeder Ecke die beiden regelmäßigen Sechsecke durch regelmäßige Achtecke,
erhält man das Parkett 4-8-8.

Trennt man die Oberfläche eines abgestumpften Dodekaeders auf und ersetzt an jeder Ecke die beiden regelmäßigen Zehnecke durch regelmäßige Zwölfecke,
erhält man das Parkett 3-12-12.

Trennt man die Oberfläche eines abgestumpften Ikosaeders auf und ersetzt an jeder Ecke das regelmäßige Fünfeck durch ein regelmäßiges Sechseck,
erhält man das Parkett 6-6-6 (Parkett aus regelmäßigen Sechsecken).

Trennt man die Oberfläche eines abgeschrägten Hexaeders auf und ersetzt an jeder Ecke ein dem Quadrat benachbartes Dreieck durch ein Quadrat,
erhält man das Parkett 3-3-3-4-4.

Trennt man die Oberfläche eines abgeschrägten Hexaeders auf und ersetzt an jeder Ecke ein dem Quadrat schräg gegenüber liegendes Dreieck durch ein Quadrat,
erhält man das Parkett 3-3-4-3-4.

Trennt man die Oberfläche eines Ikosidodekaeders auf und ersetzt an jeder Ecke die beiden regelmäßigen Fünfecke durch regelmäßige Sechsecke,
erhält man das Parkett 3-6-3-6.

Trennt man die Oberfläche eines Rhombenikosidodekaeders auf und ersetzt an jeder Ecke das regelmäßige Fünfeck durch ein regelmäßiges Sechseck,
erhält man das Parkett 3-4-6-4.

Trennt man die Oberfläche eines abgestumpften Ikosidodekaeders auf und ersetzt an jeder Ecke das regelmäßige Zehneck durch ein regelmäßiges Zwölfeck,
erhält man das Parkett 4-6-12.

Trennt man die Oberfläche eines abgeschrägten Dodekaeders auf und ersetzt an jeder Ecke das regelmäßige Fünfeck durch ein regelmäßiges Sechseck,
erhält man das Parkett 3-3-3-3-6
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Links zum Thema:

Wikipedia: Parkettierungen - Wikipedia
Jürgen Köller: Homogene Parkettierungen


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