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Platonische Körper und Archimedische Körper (reguläre und halbreguläre Polyeder)

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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Während platonische Körper an ihrer Oberfläche nur regelmäßige Vielecke einer Sorte besitzen, haben archimedische Körper regelmäßige Vielecke von mehr als einer Sorte. Von jeder Ecke eines dieser Polyeder aus betrachtet haben nicht nur die benachbarten, sondern alle Flächen die gleiche Anordnung. Die Ecken dieser Körper sehen also jeweils alle gleich aus und liegen alle auf der Oberfläche einer umhüllenden Umkugel. Es gibt genau 5 platonische Körper und 13 archimedische Körper, wobei erwähnt werden sollte, dass zwei archimedische Körper (abgeschrägtes Hexaeder und abgeschrägtes Dodekaeder) in jeweils zwei spiegelbildlich entgegengesetzten Varianten auftreten. Die folgende Abbildung zeigt die 5 platonischen Körper und die 13 archimedischen Körper:


polyeder


Zusätzlich gibt es noch unendliche viele Prismen und Antiprismen, die die obigen Bedingungen erfüllen. Die Prismen und Antiprismen haben als Deckenfläche und Bodenfläche jeweils ein regelmäßiges Vieleck. Die Seitenflächen bestehen beim Prisma aus Quadraten und beim Antiprisma aus gleichseitigen Dreiecken. Dass es nicht mehr Polyeder dieser Art gibt, kann man durch Betrachtung der Anordnung und der Innenwinkel der an jeder Ecke zusammenstoßenden Vielecke zeigen. Es müssen ja an jeder Ecke mindestens 3 Vielecke zusammenstoßen und die Summe ihrer zusammenstoßenden Innenwinkel muss kleiner als 360° sein. Daraus folgt, dass es nicht mehr als 5 platonische Körper geben kann, weil man nur 3, 4 oder 5 gleichseitige Dreiecke, 3 Quadrate oder 3 regelmäßige Fünfecke unter den angegebenen Bedingungen zusammenfügen kann.

Überträgt man diese Überlegungen auf den zweidimensionalen Raum, so muss man Vielecke suchen, die einen Umkreis besitzen. Besteht der Rand ("Oberfläche") dieser Vielecke aus gleich langen Strecken, bekommt man regelmäßige Vielecke, die den platonischen Körpern im dreidimensionalen Raum entsprechen. Davon gibt es unendlich viele. Sind die begrenzenden Strecken verschieden lang, könnte man von "archimedischen Körpern" sprechen, deren Anzahl ebenfalls unendlich wäre.

Vierdimensionale "Polyeder" werden Polytope genannt. Sie haben dreidimensionale "Oberflächen", die Facetten heißen. Im vierdimensionalen Raum entsprechen den 5 platonischen und 13 archimedischen Körpern 6 reguläre und 3 halbreguläre Polytope. Diese Körper besitzen platonische Körper als Facetten, wobei die regulären Polytope nur eine Sorte von platonischen Körpern haben. Es existiert ein reguläres Polytop mit 5 Tetraedern als Facetten. Es wird Simplex genannt und entspricht dem Tetraeder im dreidimensionalen Raum. Ein weiterer Körper mit 8 Würfeln als Facetten heißt Tesserakt oder Hyperwürfel. Das Kreuzpolytop hat 16 Tetraeder als Facetten und ist mit dem Oktaeder verwandt. Dem Dodekaeder und Ikosaeder entsprechen im vierdimensionalen Raum das 120-Zell und das 600-Zell. Diese beiden regulären Polytope werden von 120 Dodekaedern bzw. 600 Tetraedern begrenzt. Schließlich gibt es noch das 24-Zell mit 24 Oktaedern als Facetten. Für dieses Polytop gibt es keine Entsprechung unter den platonischen Körpern. Die 3 halbregulären Polytope haben als Facetten 5 Tetraeder und 5 Oktaeder, 120 Tetraeder und 24 Ikosaeder, und 600 Oktaeder und 120 Ikosaeder.

An jeder Kante dieser Polytope müssen mindestens 3 platonische Körper zusammenstoßen und die Summe ihrer zusammenstoßenden Flächenwinkel muss kleiner als 360° sein. Daraus folgt, dass es im vierdimensionalen Raum nicht mehr als 6 reguläre Polytope geben kann, weil man nur 3, 4 oder 5 Tetraeder, 3 Würfel, 3 Oktaeder oder 3 Dodekaeder unter den angegebenen Bedingungen zusammenfügen kann. Ab dem fünfdimensionalen Raum gibt es jeweils nur noch drei reguläre Polytope. Sie entsprechen dem Tetraeder, dem Hexaeder (Würfel) und dem Oktaeder im dreidimensionalen Raum.



Erzeugung von platonischen und archimedischen Körpern aus platonischen Körpern

Schneidet man von einem Tetraeder die 4 Ecken so ab, dass aus den 4 gleichseitigen Dreiecken 4 regelmäßige Sechsecke werden, erhält man ein abgestumpftes Tetraeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 4 gleichseitige, aber kleinere Dreiecke entstehen, erhält man ein Oktaeder. Schneidet man die Ecken weiter ab, dass die Dreiecke sich weiter verkleinern und die Schnittflächen die Form eines regelmäßiges Sechsecks annehmen, ensteht wieder ein abgestumpftes Tetraeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 4 gleichseitigen Dreiecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man das zum Ausgangstetraeder duale Tetraeder. Schneidet man dagegen von einem Tetraeder die 6 Kanten und die 4 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 4 gleichseitigen Dreiecken noch 6 Quadrate und weitere 4 gleichseitige Dreiecke entstehen, erhält man ein Kuboktaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Tetraeder die gleichseitigen Dreiecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate und gleichseitige Dreiecke in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Würfel die 8 Ecken so ab, dass aus den 6 Quadraten 6 regelmäßige Achtecke werden, erhält man ein abgestumpftes Hexaeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 6 (aber kleinere) Quadrate entstehen, erhält man ein Kuboktaeder. Schneidet man die Ecken weiter ab, dass die Quadrate sich weiter verkleinern und die Schnittflächen die Form eines regelmäßiges Sechsecks annehmen, ensteht ein abgestumpftes Oktaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 6 Quadrate zu einem Punkt schrumpfen, erhält man das zum Würfel duale Oktaeder. Schneidet man dagegen von einem Würfel die 12 Kanten und die 8 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 6 Quadraten noch 12 weitere Quadrate und 8 gleichseitige Dreiecke entstehen, erhält man ein Rhombenkuboktaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Würfel die Quadrate so weit auseinander zieht, dass Quadrate und gleichseitige Dreiecke in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Oktaeder die 6 Ecken so ab, dass aus den 8 gleichseitigen Dreiecken 8 regelmäßige Sechsecke werden, erhält man ein abgestumpftes Oktaeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 8 gleichseitige, aber kleinere Dreiecke entstehen, erhält man ein Kuboktaeder. Schneidet man die Ecken weiter ab, dass die Dreiecke sich weiter verkleinern und die Schnittflächen die Form eines regelmäßiges Achtecks annehmen, ensteht ein abgestumpftes Hexaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 8 gleichseitigen Dreiecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man den zum Oktaeder dualen Würfel. Schneidet man dagegen von einem Oktaeder die 12 Kanten und die 6 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 8 gleichseitigen Dreiecken noch 18 Quadrate entstehen, erhält man ein Rhombenkuboktaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Oktaeder die gleichseitigen Dreiecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Dodekaeder die 20 Ecken so ab, dass aus den 12 regelmäßigen Fünfecken 12 regelmäßige Zehnecke werden, erhält man ein abgestumpftes Dodekaeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 12 regelmäßige, aber kleinere Fünfecke entstehen, erhält man ein Ikosidodekaeder. Schneidet man die Ecken weiter ab, dass die Fünfecke sich weiter verkleinern und die Schnittflächen die Form eines regelmäßiges Sechsecks annehmen, ensteht ein abgestumpftes Ikosaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 12 regelmäßigen Fünfecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man das zum Dodekaeder duale Ikosaeder. Schneidet man dagegen von einem Dodekaeder die 30 Kanten und die 20 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 12 regelmäßigen Fünfecken noch 30 Quadrate und 20 gleichseitige Dreiecke entstehen, erhält man ein Rhombenikosidodekaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Dodekaeder die regelmäßigen Fünfecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate und gleichseitige Dreiecke in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Ikosaeder die 12 Ecken so ab, dass aus den 20 gleichseitigen Dreiecken 20 regelmäßige Sechsecke werden, erhält man ein abgestumpftes Ikosaeder (Fußballkörper). Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 20 gleichseitige, aber kleinere Dreiecke entstehen, erhält man ein Ikosidodekaeder. Schneidet man die Ecken weiter ab, dass die Dreiecke sich weiter verkleinern und die Schnittflächen die Form eines regelmäßiges Zehnecks annehmen, ensteht ein abgestumpftes Dodekaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 20 gleichseitigen Dreiecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man das zum Ikosaeder duale Dodekaeder. Schneidet man dagegen von einem Ikosaeder die 30 Kanten und die 12 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 20 gleichseitigen Dreiecken noch 30 Quadrate und 12 regelmäßige Fünfecke entstehen, erhält man ein Rhombenikosidodekaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Ikosaeder die gleichseitigen Dreiecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate und regelmäßige Fünfecke in die Lücken passen.



Erzeugung weiterer archimedischer Körper aus archimedischen Körpern

Entfernt man bei einem abgestumpften Hexaeder die gleichseitigen Dreiecke und zieht die regelmäßigen Achtecke so weit auseinander, dass Quadrate und regelmäßige Sechsecke in die Lücken passen, dann erhält man ein abgestumpftes Kuboktaeder. Entfernt man bei einem abgestumpften Dodekaeder ebenfalls die gleichseitigen Dreiecke und zieht die regelmäßigen Zehnecke so weit auseinander, dass ebenfalls Quadrate und regelmäßige Sechsecke in die Lücken passen, dann erhält man ein abgestumpftes Ikosidodekaeder. Weder das abgestumpfte Kuboktaeder noch das abgestumpfte Ikosidodekaeder lassen sich durch Abschneiden der Ecken der entsprechenden Körper erzeugen, weil dann in beiden Fällen Rechtecke entstehen. Die Namen sind also irreführend.


Die folgenden Tabellen gelten für platonische Körper und archimedische Körper im dreidimensionalen Raum. Die Sphärizität (Kugelähnlichkeit) in der ersten Tabelle ist definiert als "die Oberfläche einer Kugel gleichen Volumens geteilt durch die Oberfläche des entsprechenden Polyeders". Archimedische Körper besitzen keine eindeutig definierten Inkugeln, da zu den verschiedenen Sorten von regelmäßigen Vielecken eines archimedischen Körpers Inkugeln unterschiedlicher Radien gehören, die allerdings alle den gleichen Mittelpunkt besitzen. In der letzten Tabelle ist mit Inkugelradius bei den archimedischen Körpern deshalb der kleinste Radius der Inkugeln gemeint. Er gehört zu den regelmäßigen Vielecken mit den meisten Ecken.

PolyederSummeAnzahlAnzahlAnzahlSphärizität
(Platonische Körper,der Winkelund Artderder(Kugel-
Archimedische Körper)an jeder derEckenKantenähnlichkeit)
Ecke Flächen
Tetraeder180°4 Dreiecke460,671139
Hexaeder (Würfel)270°6 Quadrate8120,805996
Oktaeder240°8 Dreiecke6120,845583
Dodekaeder324°12 Fünfecke20300,910453
Ikosaeder300°20 Dreiecke12300,939326
 
 
abgestumpftes Tetraeder300°4 Dreiecke, 4 Sechsecke12180,775413
 
abgestumpftes Hexaeder330°8 Dreiecke, 6 Achtecke24360,849494
 
abgestumpftes Oktaeder330°6 Quadrate, 8 Sechsecke24360,909918
 
abgestumpftes Dodekaeder348°20 Dreiecke, 12 Zehnecke60900,926012
 
abgestumpftes Ikosaeder348°12 Fünfecke, 20 Sechsecke60900,966622
(Fußballkörper)
 
Kuboktaeder300°8 Dreiecke, 6 Quadrate12240,904997
 
Ikosidodekaeder336°20 Dreiecke, 12 Fünfecke30600,951024
 
Rhombenkuboktaeder330°8 Dreiecke, 18 Quadrate24480,954080
(kleines Rhombenkuboktaeder)
 
abgestumpftes Kuboktaeder345°12 Quadrate, 8 Sechsecke48720,943166
(großes Rhombenkuboktaeder)6 Achtecke
 
Rhombenikosidodekaeder348°20 Dreiecke, 30 Quadrate601200,979237
(kleines Rhombenikosidodekaeder)12 Fünfecke
 
abgestumpftes Ikosidodekaeder354°30 Quadrate, 20 Sechsecke1201800,970313
(großes Rhombenikosidodekaeder)12 Zehnecke
 
abgeschrägtes Hexaeder330°32 Dreiecke, 6 Quadrate24600,965196
 
abgeschrägtes Dodekaeder348°80 Dreiecke, 12 Fünfecke601500,982011


 
 
Polyeder mitVolumenOberfläche
Kantenlänge s
(Platonische Körper,
Archimedische Körper)
 
Tetraeders3 / 12 · √2s2 · √3
Hexaeders36 · s2
Oktaeders3 / 3 · √22 · s2 · √3
Dodekaeders3 / 4 · (15 + 7·√5)3 · s2 · √(25 + 10·√5)
Ikosaeder5/12 · s3 · (3 + √5)5 · s2 · √3
 
 
abgestumpftes Tetraeder23/12 · s3 · √27 · s2 · √3
abgestumpftes Hexaeder7/3 · s3 · (3 + 2·√2)2 · s2 · (6 + 6·√2 + √3)
abgestumpftes Oktaeder8 · s3 · √26 · s2 · (1 + 2·√3)
abgestumpftes Dodekaeder5/12 · s3 · (99 + 47·√5)5 · s2 · (√3 + 6·√(5 + 2·√5))
abgestumpftes Ikosaeders3 / 4 · (125 + 43·√5)3 · s2 · (10·√3 + √(25 + 10·√5))
(Fußballkörper)
Kuboktaeder5/3 · s3 · √22 · s2 · (3 + √3)
Ikosidodekaeders3 / 6 · (45 + 17·√5)s2 · (5·√3 + 3·√(25 + 10·√5))
Rhombenkuboktaeder2/3 · s3 · (6 + 5·√2)2 · s2 · (9 + √3)
(kleines Rhombenkuboktaeder)
abgestumpftes Kuboktaeder2 · s3 · (11 + 7·√2)12 · s2 · (2 + √2 + √3)
(großes Rhombenkuboktaeder)
Rhombenikosidodekaeders3 / 3 · (60 + 29·√5)s2 · (30+5·√3+3·√(25+10·√5))
(kleines Rhombenikosidodekaeder)
abgestumpftes Ikosidodekaeder5 · s3 · (19 + 10·√5)30 · s2 · (1 + √3 + √(5 + 2·√5))
(großes Rhombenikosidodekaeder)
abgeschrägtes Hexaeder7,889477 · s32 · s2 · (3 + 4·√3)
abgeschrägtes Dodekaeder37,616649 · s3s2 · (20·√3 + 3·√(25 + 10·√5))


 
 
Polyeder mitUmkugel-Inkugel-Inkugel-
Kantenlänge sradiusradiusradius /
(Platonische Körper,Umkugel-
Archimedische Körper)radius
 
Tetraeders / 4 · √6s / 12 · √60,333333
Hexaeders / 2 · √3s / 20,577350
Oktaeders / 2 · √2s / 6 · √60,577350
Dodekaeders / 4 · √3 · (1 + √5)s / 20 · √(250 + 110·√5)0,794654
Ikosaeders / 4 · √(10 + 2·√5)s / 12 · √3 · (3+√5)0,794654
 
 
abgestumpftes Tetraeders / 4 · √22s / 4 · √60,522233
abgestumpftes Hexaeders / 2 · √(7 + 4·√2)s / 2 · (1 + √2)0,678598
abgestumpftes Oktaeders / 2 · √10s / 2 · √60,774597
abgestumpftes Dodekaeders / 4 · √(74 + 30·√5)s / 4 · √(50 + 22·√5)0,838505
abgestumpftes Ikosaeders / 4 · √(58 + 18·√5)s / 4 · √3 · (3+√5)0,914958
(Fußballkörper)
Kuboktaederss / 2 · √20,707107
Ikosidodekaeders / 2 · (1 + √5)s / 5 · √(25 + 10·√5)0,850651
Rhombenkuboktaeders / 2 · √(5 + 2·√2)s / 2 · (1 + √2)0,862856
(kleines Rhombenkuboktaeder)
abgestumpftes Kuboktaeders / 2 · √(13 + 6·√2)s / 2 · (1 + 2·√2)0,825943
(großes Rhombenkuboktaeder)
Rhombenikosidodekaeders / 2 · √(11 + 4·√5)3 · s / 10 · √(25 + 10·√5)0,924594
(kleines Rhombenikosidodekaeder)
abgestumpftes Ikosidodekaeders / 2 · √(31 + 12·√5)s / 2 · √(25 + 10·√5)0,904944
(großes Rhombenikosidodekaeder)
abgeschrägtes Hexaeder1,343713 · s1,142614 · s0,850340
abgeschrägtes Dodekaeder2,155837 · s1,980916 · s0,918861


Kugelähnlichkeit von platonischen Körpern und archimedischen Körpern

Welcher platonische Körper oder archimedische Körper hat nun die größte Kugelähnlichkeit (Sphärizität)? Diese Frage lässt sich nicht so exakt beantworten, wie man zunächst vermutet. Das liegt an der komplexen Eigenschaft der Kugelähnlichkeit, die man auf verschiedene Weise sinnvoll definieren kann. Da platonische Körper und archimedische Körper jeweils gleichartige Ecken besitzen, kann man die Winkelsumme der an einer Ecke zusammenstoßenden Vielecke als Kriterium verwenden. Danach ist die Kugelähnlichkeit dieser Polyeder umso größer, je näher diese Winkelsumme bei 360° liegt. Nach dieser Definition hat das Dodekaeder unter den platonischen Körpern mit einer Winkelsumme von 324° die größte Kugelähnlichkeit. Unter den archimedischen Körper ist es das abgestumpfte Ikosidodekaeder mit 354°. Diese einfache Definition ist nur dann einigermaßen sinnvoll, wenn die Flächen der aneinanderstoßenden Vielecke nicht zu verschieden sind. Beispielsweise werden Prismen einer Kugel immer unähnlicher, wenn die Eckenzahl der beiden gegenüberliegenden regelmäßigen Vielecke zunimmt, ihre Fläche also im Vergleich zu den Quadraten des Prismas immer größer wird. Die Winkelsumme nähert sich dagegen immer mehr dem Wert von 360°.

Man kann zur Definition der Kugelähnlichkeit auch das Verhältnis der Radien von Inkugel zu Umkugel verwenden. Da archimedische Körper für jeden Typ von regelmäßigen Vielecken eine andere "Inkugel" besitzen, muss man hier diejenige mit dem kleinsten Radius nehmen. Nach dieser anschaulichen Definition sind Dodekaeder und Ikosaeder die beiden platonischen Körper mit der größten Kugelähnlichkeit. Ihr Radienverhältnis beträgt 0,795. Unter den archimedischen Körpern hat das Rhombenikosidodekaeder mit einem Wert von 0,925 die größte Kugelähnlichkeit.

Eine allgemeinere und wesentlich bessere Definition für Kugelähnlichkeit ist das in der Tabelle verwendete Verhältnis von Kugeloberfläche zu Oberfläche des betrachteten Polyeders bei gleichem Volumen beider Körper. Die Kugel besitzt ja bei gleichem Volumen die kleinste Oberfläche aller Körper. Unter den platonischen Körpern hat nach dieser Definition das Ikosaeder mit 0,939 den größten Wert. Von den archimedischen Körpern hat das abgeschrägte Dodekaeder mit einem Wert von 0,982 die größte Kugelähnlichkeit. Diese Definition lässt sich auch auf andere Polyeder anwenden.



Würfeln mit platonischen Körpern und archimedischen Körpern

Alle 5 platonischen Körper eignen sich gut als "Würfel". Jeder dieser Körper bleibt nämlich beim Würfeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf einer seiner n Seitenflächen liegen, so dass die Wahrscheinlichkeit für jede Fläche eines platonischen Körper gleich 1/n ist. Beim Tetraeder gibt es allerdings das kleine Problem, dass sich dann oben keine Fläche, sondern eine Ecke befindet.

Verwendet man einen archimedischen Körper als "Würfel", muss man beachten, dass es dort zwei oder gar drei Arten von Flächen gibt, auf die der Körper mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit liegenbleiben kann. Drei Arten von Flächen besitzen zunächst das Rhombenikosidodekaeder, das abgestumpfte Kuboktaeder und das abgestumpfte Ikosidodekaeder. Das Gleiche gilt aber auch für das Rhombenkuboktaeder, das abgeschrägte Hexaeder und das abgeschrägte Dodekaeder. Das Rhombenkuboktaeder besitzt nämlich Quadrate mit 2 und mit 4 Quadraten als Nachbarn. Und die beiden abgeschrägten Körper besitzen Dreiecke mit 2 und mit 3 Dreiecken als Nachbarn. Wenn diese beiden Körper auf Dreiecken liegenbleiben, die nur 2 Dreiecke als Nachbarn haben, dann befinden sich außerdem oben Ecken. Bei den übrigen 7 archimedischen Körpern gibt es dagegen nur zwei Arten von Flächen, auf die die Körper mit jeweils unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten liegenbleiben können. Beim abgestumpften Tetraeder gibt es allerdings das kleine Problem, dass die Fläche, auf die er liegenbleibt, von anderer Art ist als die, die sich dann oben befindet. Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Flächen eines archimedischen Körpers lassen sich nicht auf einfache Weise berechnen. Sie hängen nicht nur von der Anzahl und Größe dieser Flächen ab.



Weitere konvexe Polyeder

Eine weitere Gruppe von konvexen Polyedern sind die Johnson-Körper. Sie sind ebenfalls nur aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut, gehören aber weder zu den 5 platonischen Körpern oder 13 archimedischen Körpern noch zu den unendlich vielen Prismen oder Antiprismen. Es gibt 92 derartige Polyeder. Zu ihnen gehört auch das Pseudo-Rhombenkuboktaeder, eine Variante des Rhombenkuboktaeders.

Die catalanischen Körper sind die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder. Deshalb heißen sie auch dual-archimedische Körper. Catalanische Körper haben nur eine Sorte von Vielecken auf ihrer Oberfläche und besitzen eine eindeutig definierte Inkugel.

Die Doppelpyramiden oder Bipyramiden und die Deltoeder sind die zu den Prismen bzw. Antiprismen dualen Körper. Sie besitzen deckungsgleiche gleichschenklige Dreiecke bzw. Drachenvierecke auf ihrer Oberfläche. Die Deltoeder gehören zur Gruppe der Trapezoeder, die alle von kongruenten Vierecken begrenzt werden.

Deltaeder sind nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzte Polyeder. Es gibt insgesamt 8 konvexe Deltaeder, zu denen auch das Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, die Dreiecks- und die Fünfecksdoppelpyramiden sowie drei weitere Johnson-Körper gehören.

Ein Rhomboeder ist ein spezielles Parallelepiped (Spat), das sechs deckungsgleiche Rauten auf seiner Oberfläche besitzt.

Geodätische Kuppeln bestehen nur aus Dreiecken, die nicht gleichseitig zu sein brauchen. Diese Körper besitzen eine eindeutig definierte Umkugel. Entsprechend gibt es auch die zu den geodätischen Kuppeln dualen Polyeder.



Das Mathematik-Rätsel über Würfelschnitte enthält auch alle Schnitte durch platonische Körper, bei denen regelmäßige Vielecke als Schnittflächen entstehen. Schließlich enthält ein weiteres Mathematik-Rätsel alle platonischen Körper, die man platonischen Körpern einbeschreiben kann.


Links zum Thema:

Wikipedia: Archimedischer Körper - Wikipedia
Gijs Korthals Altes: Paper Models of Polyhedra
Jürgen Köller: Archimedische Körper
Arndt Brünner: Platonische Körper und Archimedische Körper


Referenz: Reguläre und halbreguläre Polyeder (Tiberiu Roman, Deutsch Taschenbücher, Band 56)


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