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Neunstellige Zahl und Teilbarkeit

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Mathematik im Alltag (z.B. Zahlen mit vielen Teilern), verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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5. Es gibt nur eine neunstellige Zahl, bei der jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal vorkommt, und bei der die erste Ziffer durch 1, die Zahl aus den ersten beiden Ziffern durch 2, die Zahl aus den ersten 3 Ziffern durch 3, ... und die ganze Zahl durch 9 ohne Rest teilbar ist. Welche Zahl ist das?

Die gesuchte neunstellige Zahl ist immer durch 9 teilbar, weil die Quersumme immer 45 beträgt und durch 9 teilbar ist.
Nur eine Zahl, die mit 5 endet, ist durch 5 teilbar. Also muss die fünfte Ziffer eine 5 sein.
Die Ziffern an den Plätzen 2, 4, 6 und 8 müssen gerade sein, weil die entsprechenden Zahlen durch gerade Zahlen teilbar sein müssen.
Die ungeraden Ziffern stehen dann an den 5 restlichen Plätzen.

An Platz 4 kann nur eine 2 oder 6 stehen, weil bei keiner der verbleibenden Möglichkeiten
(. . 145 . . . .), (. . 345 . . . .), (. . 745 . . . .), (. . 945 . . . .), (. . 185 . . . .), (. . 385 . . . .), (. . 785 . . . .) und (. . 985 . . . .)
die Zahl aus den ersten 4 Ziffern durch 4 teilbar sein kann.
Die Summe der Ziffern an Platz 4, 5 und 6 muss durch 3 teilbar sein, da sonst nicht die Zahl aus den ersten 3 Ziffern
und gleichzeitig die Zahl aus den ersten 6 Ziffern durch 3 teilbar sein kann.
Wenn an Platz 4 eine 2 steht, muss an Platz 6 eine 8 stehen.
Wenn an Platz 4 eine 6 steht, muss an Platz 6 eine 4 stehen.
Es geht also nur (. . . 258 . . .) (Fall 1) oder (. . . 654 . . .) (Fall 2).

Fall 1:
An Platz 8 kann keine 4 stehen, weil (. . . 25814 .), (. . . 25834 .), (. . . 25874 .) und (. . . 25894 .) nicht durch 8 teilbar sind.
Es geht nur (. 4 . 25816 .) oder (. 4 . 25896 .).
Die Summe der ersten 3 Ziffern muss durch 3 teilbar sein. Das geht neben der 4 nur mit den zusätzlichen Ziffern 1 und 7.
Es bleiben also nur 147258963 und 741258963.
Allerdings ist die aus den ersten 7 Ziffern gebildete Zahl nie durch 7 teilbar. Fall 1 scheidet also aus!

Fall 2:
An Platz 8 kann keine 8 stehen, weil (. . . 65418 .), (. . . 65438 .), (. . . 65478 .) und (. . . 65498 .) nicht durch 8 teilbar sind.
Es geht nur (. 8 . 65432 .) oder (. 8 . 65472 .).
Die Summe der ersten 3 Ziffern muss durch 3 teilbar sein.
Es bleiben nur die folgenden 8 Möglichkeiten:

183654729   189654327   981654327   789654321
381654729   189654723   981654723   987654321

Nur einmal ist hier die aus den ersten 7 Ziffern gebildete Zahl durch 7 teilbar. Die einzige Lösung lautet deshalb:

381654729

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass es entweder keine oder mehrere Lösungen gebe. Warum sollte es auch genau eine Lösung geben? Die folgenden Überlegungen zeigen, dass diese Intuition nicht ganz falsch ist, auch wenn sie uns im Dezimalsystem auf die falsche Fährte lockt.


Gibt es in anderen Zahlensystemen entsprechende Lösungen? Lassen sich also im einem n-er Zahlensystem Zahlen finden, bei denen eine entsprechende Teilbarkeit durch die Zahlen 1 bis n–1 ohne Rest möglich ist?
Zahlensysteme mit ungeradem n scheiden aus. Die Quersumme der gesuchten Zahlen beträgt immer (n–1) · n/2 (im Dezimalsystem 9 · 10/2 = 45). Diese Zahlen müssen laut Aufgabe durch n–1 teilbar sein. Das sind sie aber nur, wenn ihre Quersummen durch n–1 teilbar sind. Daraus folgt, dass n/2 ganzzahlig und damit die Basis des entsprechenden Zahlensystems geradzahlig sein muss.

Tatsächlich gibt es für einige geradzahlige Zahlensysteme Lösungen:

  2er-System: 1
  4er-System: 123 und 321
  6er-System: 14325 und 54321
  8er-System: 3254167, 5234761 und 5674321
10er-System: 381654729
12er-System: keine Lösung
14er-System: 9C3A5476B812D
16er-System: keine Lösung
18er-System: keine Lösung
20er-System: keine Lösung
22er-System: keine Lösung
24er-System: keine Lösung

Im Dualsystem ist offensichtlich die 1 die einzige Lösung.

im Vierersystem kann die zweite Ziffer nur eine 2 sein, da die aus den beiden ersten Ziffern gebildete Zahl durch 2 teilbar sein muss.
Es bleiben damit für die erste und die letzte Ziffer nur die 1 und die 3.
Deshalb gibt es die beiden Lösungen 123 und 321, da in jedem geraden Zahlensystem an die erste und letzte Stelle jede beliebige Ziffer gesetzt werden darf, wie oben gezeigt wurde.

Im Hexalsystem kann die dritte Ziffer nur eine 3 sein.
Die zweite und die vierte Ziffer ist entweder eine 2 oder eine 4. Die Teilbarkeit durch vier im Hexalsystem verlangt, dass die aus der dritten und vierten Ziffer gebildete Zahl durch 4 teilbar sein muss. Von den beiden möglichen Zahlen 32 und 34 erfüllt nur 32 die Bedingung.
Deshalb muss die zweite Ziffer eine 4 sein.
Es bleiben damit für die erste und die letzte Ziffer nur die 1 und die 5 übrig. Wieder gibt es zwei Lösungen, nämlich 14325 und 54321.

Für das Oktalsystem, das Duodezimalsystem und das 14er-System gibt es keine eleganten Beweise.

Vermutlich gibt es in Zahlensystemen, deren Basen größer als 14 sind, keine Lösung mehr. Neben dem Dualsystem mit seiner trivialen Lösung sind das Dezimalsystem und das 14er-System wohl die einzigen Zahlensysteme, die genau eine Lösung besitzen. Die Buchstaben A bis D im 14er-System haben die gleiche Bedeutung, mit der sie üblicherweise im Hexadezimalsystem verwendet werden.


Die Web-Seite Neunstellige Zahl und kleines Einmaleins beschreibt ein ähnliches, aber einfacheres Matherätsel.


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