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Neunstellige Zahl und kleines Einmaleins

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


6. Es gibt nur eine neunstellige Zahl, bei der jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal vorkommt, und bei der die Zahl aus ihrer ersten und zweiten Ziffer, die Zahl aus ihrer zweiten und dritten Ziffer, ... und die Zahl aus ihrer achten und neunten Ziffer alle ein Ergebnis des kleinen Einmaleins darstellen. Welche Zahl ist das?

Da es kein Ergebnis des kleinen Einmaleins gibt, das mit 9 anfängt, muss die 9 ganz hinten stehen (. . . . . . . . 9).
Davor geht es nur mit der 4 (49 = 7 · 7) (. . . . . . . 49).
Da vor und hinter der 7 nur die 2 passt (27 = 3 · 9; 72 = 9 · 8), muss die 7 ganz vorne stehen (72 . . . . . 49).
Auf die 8 kann nur die 1 folgen (81 = 9 · 9).
Vor der 8 kann dann nur noch die 2 stehen, weil die 1 und die 4 schon verwendet wurden.
Also steht die 8 auf Platz 3 und die 1 auf Platz 4 (7281 . . . 49).
Da die 3 weder auf die 1 folgen noch vor der 4 stehen kann, muss sie auf Platz 6 (7281 . 3 . 49).
Vor der 3 auf Platz 5 passt dann nur die 6 (728163 . 49).
Schließlich bleibt für die 5 nur Platz 7 und dort passt sie tatsächlich (728163549).

Damit gibt es nur diese eine Lösung:

728163549

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass es entweder keine oder mehrere Lösungen gebe. Warum sollte es auch genau eine Lösung geben? Die folgenden Überlegungen zeigen, dass diese Intuition nicht ganz falsch ist, auch wenn sie uns im Dezimalsystem auf die falsche Fährte lockt.


Gibt es in anderen Zahlensystemen entsprechende Lösungen? Das ist tatsächlich der Fall:

  3er-System: –
  4er-System: –
  5er-System: –
  6er-System: –
  7er-System: 513426
  8er-System: 5243617
  9er-System: 54627138, 71546238 und 46271538
10er-System: 728163549
11er-System: 739158264A

Danach explodiert die Anzahl der Lösungen. Im Duodezimalsystem gibt es elf und im 13er-System schon 51 Lösungen. Der Buchstabe A im 11er-System hat die gleiche Bedeutung, mit der er üblicherweise im Hexadezimalsystem verwendet wird.


Die Web-Seite Neunstellige Zahl und Teilbarkeit beschreibt ein ähnliches, aber schwierigeres Matherätsel.


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