quadratsumme

Weitere Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und optimale Strategien beim Kniffel

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Wahrscheinlichkeiten und Strategien beim Kniffel mit 3 Würfen für nur eine Kategorie: Kniffel-Seite
Wahrscheinlichkeiten beim Kniffel für nur einen Wurf: Stochastik-Seite (Beispiele 14, 15, 16, 24)

E-Mail gerne an: werner.brefeld@web.de (Fragen werden beantwortet und auf Bemerkungen wird eingegangen.)


Wahrscheinlichkeiten beim Dreierpasch

Siehe dazu auch mein Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Dreierpasch zu erzielen, beträgt 74,319527%.

Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Dreierpasch zu erzielen (siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.

Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:

Bei einem Kniffel, Vierling, Full House und Drilling ist man schon am Ziel.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal, alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.

Die folgende Zusammenstellung enthält die 6 möglichen Fälle zum Erzielen eines Dreierpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie (Erläuterungen zur Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten auf Anfrage). Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 3 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher einen Dreierpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien. Ein Drilling kann hier sowohl ein Kniffel, Vierling, Full House als auch genau ein Drilling sein. Ebenso kann ein Zwilling sowohl genau ein Zwilling als auch zwei Zwillinge sein:

p1 = 1656/7776 = 23/108 = 21,296296% (Drilling = Dreierpasch / - / -)
p2 = (5400/7776)·(96/216) = 25/81 = 30,864198% (Zwilling / Drilling = Dreierpasch / -)
p3 = (5400/7776)·(120/216)·(96/216) = 125/729 = 17,146776% (Zwilling / Zwilling / Drilling = Dreierpasch)
p4 = (720/7776)·(276/1296) = 115/5832 = 1,971879% (Einlinge / Drilling = Dreierpasch / -)
p5 = (720/7776)·(900/1296)·(96/216) = 125/4374 = 2,857796% (Einlinge / Zwilling / Drilling = Dreierpasch)
p6 = (720/7776)·(120/1296)·(276/1296) = 575/314928 = 0,182581% (Einlinge / Einlinge / Drilling = Dreierpasch)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und führt auf den schon oben angegebenen Wert:

pgesamt = 234053/314928 = 74,319527%

Wie groß wäre eigentlich die entsprechende Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch". Die Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch" errechnet sich einfach als 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dreimal keinen "Zweierpasch" zu erzielen. Sie beträgt 1 – (6 * 5! / 65)3 = 1 – (720 / 7776)3 = 1 – 0,00079383 = 99,920617%.



Wahrscheinlichkeiten beim Viererpasch

Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Viererpasch zu erzielen, beträgt 29,079358%.

Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Viererpasch zu erzielen (siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.

Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:

Bei einem Kniffel und einem Vierling ist man schon am Ziel.
Bei einen Drilling oder Full House wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal, alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.

Die folgende Zusammenstellung enthält die 10 möglichen Fälle zum Erzielen eines Viererpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie (Erläuterungen zur Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten auf Anfrage). Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 4 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher einen Viererpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien. Ein Vierling kann hier sowohl ein Kniffel als auch genau ein Vierling sein. Ebenso kann ein Drilling hier sowohl ein Full House als auch genau ein Drilling sein. Schließlich kann ein Zwilling sowohl genau ein Zwilling als auch zwei Zwillinge sein:

p1 = 156/7776 = 13/648 = 2,006173% (Vierling = Viererpasch / - / -)
p2 = (1500/7776)·(11/36) = 1375/23328 = 5,894204% (Drilling / Vierling = Viererpasch / -)
p3 = (1500/7776)·(25/36)·(11/36) = 34375/839808 = 4,093197% (Drilling / Drilling / Vierling = Viererpasch)
p4 = (5400/7776)·(16/216) = 25/486 = 5,144033% (Zwilling / Vierling = Viererpasch / -)
p5 = (5400/7776)·(80/216)·(11/36) = 1375/17496 = 7,858939% (Zwilling / Drilling / Vierling = Viererpasch)
p6 = (5400/7776)·(120/216)·(16/216) = 125/4374 = 2,857796% (Zwilling / Zwilling / Vierling = Viererpasch)
p7 = (720/7776)·(26/1296) = 65/34992 = 0,185757% (Einlinge / Vierling = Viererpasch / -)
p8 = (720/7776)·(250/1296)·(11/36) = 6875/1259712 = 0,545760% (Einlinge / Drilling / Vierling = Viererpasch)
p9 = (720/7776)·(900/1296)·(16/216) = 125/26244 = 0,476299% (Einlinge / Zwilling / Vierling = Viererpasch)
p10 = (720/7776)·(120/1296)·(26/1296) = 325/1889568 = 0,017200% (Einlinge / Einlinge / Vierling = Viererpasch)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und führt auf den schon oben angegebenen Wert:

pgesamt = 2197897/7558272 = 29,079358%



Wahrscheinlichkeiten für die Summen der Augenzahlen bei der Chance

Die folgende Zusammenstellung enthält die Wahrscheinlichkeiten pn, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie die Summe n der Augenzahlen zu erzielen:

p5 = 248830 / 470184984576 = 0.0001%
p6 = 1244160 / 470184984576 = 0.0003%
p7 = 3732480 / 470184984576 = 0.0008%
p8 = 11197440 / 470184984576 = 0.0024%
p9 = 33592320 / 470184984576 = 0.0071%
p10 = 87340030 / 470184984576 = 0.0186%
p11 = 197821440 / 470184984576 = 0.0421%
p12 = 429235200 / 470184984576 = 0.0913%
p13 = 906992640 / 470184984576 = 0.1929%
p14 = 1777904640 / 470184984576 = 0.3781%
p15 = 3210181630 / 470184984576 = 0.6827%
p16 = 5527802880 / 470184984576 = 1.1757%
p17 = 9208028160 / 470184984576 = 1.9584%
p18 = 14463360000 / 470184984576 = 3.0761%
p19 = 21107174400 / 470184984576 = 4.4891%
p20 = 29129020410 / 470184984576 = 6.1952%
p21 = 38586378240 / 470184984576 = 8.2066%
p22 = 48171386880 / 470184984576 = 10.2452%
p23 = 55091404800 / 470184984576 = 11.7170%
p24 = 57778790400 / 470184984576 = 12.2885%
p25 = 56757583870 / 470184984576 = 12.0713%
p26 = 51597803520 / 470184984576 = 10.9739%
p27 = 40310784000 / 470184984576 = 8.5734%
p28 = 24186470400 / 470184984576 = 5.1440%
p29 = 9674588160 / 470184984576 = 2.0576%
p30 = 1934917630 / 470184984576 = 0.4115%



Erwartungswerte für zwei offene Kategorien beim Kniffel-Spiel

In der folgenden Tabelle sind alle 78 Fälle aufgeführt, bei denen noch genau 2 Kategorien offen sind. Angegeben sind die mittleren Punktzahlen (Erwartungswerte), die man dann jeweils bei optimaler Strategie erreicht. Bonuspunkte wurden bei dieser Berechnung nicht berücksichtigt. Die Werte in den Klammern geben an, wie viele Punkte man im Mittel mehr erzielt, als wenn man die beiden Kategorien jeweils einzeln optimiert hätte:

Einer und Zweier: 7,122429 (+0,80)
Einer und Dreier: 9,572760 (+1,15)
Einer und Vierer: 12,040419 (+1,51)
Einer und Fünfer: 14,509981 (+1,87)
Einer und Sechser: 16,981755 (+2,24)
Einer und Dreierpasch: 21,817047 (+4,52)
Einer und Viererpasch: 10,761901 (+3,04)
Einer und Full House: 16,358312 (+5,18)
Einer und kleine Straße: 27,194479 (+6,62)
Einer und große Straße: 19,263079 (+6,71)
Einer und Kniffel: 5,893168 (+1,49)
Einer und Chance: 26,459315 (+1,02)
Zweier und Dreier: 11,830067 (+1,30)
Zweier und Vierer: 14,244857 (+1,61)
Zweier und Fünfer: 16,693681 (+1,95)
Zweier und Sechser: 19,145519 (+2,29)
Zweier und Dreierpasch: 23,488120 (+4,08)
Zweier und Viererpasch: 12,346240 (+2,52)
Zweier und Full House: 17,893059 (+4,61)
Zweier und kleine Straße: 29,052529 (+6,38)
Zweier und große Straße: 20,743299 (+6,09)
Zweier und Kniffel: 8,018201 (+1,50)
Zweier und Chance: 28,658342 (+1,11)
Dreier und Vierer: 16,539606 (+1,79)
Dreier und Fünfer: 18,950596 (+2,10)
Dreier und Sechser: 21,367286 (+2,41)
Dreier und Dreierpasch: 25,359175 (+3,85)
Dreier und Viererpasch: 14,310305 (+2,38)
Dreier und Full House: 19,494080 (+4,10)
Dreier und kleine Straße: 30,642444 (+5,86)
Dreier und große Straße: 22,133538 (+5,37)
Dreier und Kniffel: 10,409530 (+1,79)
Dreier und Chance: 30,954951 (+1,30)
Vierer und Fünfer: 21,249144 (+2,29)
Vierer und Sechser: 23,660134 (+2,60)
Vierer und Dreierpasch: 27,416903 (+3,80)
Vierer und Viererpasch: 16,537325 (+2,50)
Vierer und Full House: 21,242074 (+3,74)
Vierer und kleine Straße: 32,476655 (+5,59)
Vierer und große Straße: 23,603208 (+4,73)
Vierer und Kniffel: 12,822288 (+2,10)
Vierer und Chance: 33,347083 (+1,59)
Fünfer und Sechser: 25,958683 (+2,79)
Fünfer und Dreierpasch: 29,511368 (+3,78)
Fünfer und Viererpasch: 18,779091 (+2,64)
Fünfer und Full House: 23,230038 (+3,63)
Fünfer und kleine Straße: 34,829906 (+5,83)
Fünfer und große Straße: 25,232258 (+4,26)
Fünfer und Kniffel: 15,235046 (+2,40)
Fünfer und Chance: 35,559533 (+1,69)
Sechser und Dreierpasch: 31,518629 (+3,69)
Sechser und Viererpasch: 21,230356 (+2,98)
Sechser und Full House: 25,317122 (+3,61)
Sechser und kleine Straße: 36,641378 (+5,54)
Sechser und große Straße: 27,351177 (+4,27)
Sechser und Kniffel: 17,668410 (+2,73)
Sechser und Chance: 37,343785 (+1,37)
Dreierpasch und Viererpasch: 25,644149 (+4,84)
Dreierpasch und Full House: 28,595980 (+4,33)
Dreierpasch und kleine Straße: 38,684169 (+5,03)
Dreierpasch und große Straße: 29,466734 (+3,83)
Dreierpasch und Kniffel: 22,693226 (+5,20)
Dreierpasch und Chance: 42,805413 (+4,28)
Viererpasch und Full House: 19,636379 (+4,95)
Viererpasch und kleine Straße: 29,823318 (+5,75)
Viererpasch und große Straße: 20,798317 (+4,74)
Viererpasch und Kniffel: 11,695701 (+3,78)
Viererpasch und Chance: 31,629982 (+2,69)
Full House und kleine Straße: 32,995930 (+5,46)
Full House und große Straße: 23,421948 (+3,91)
Full House und Kniffel: 16,798868 (+5,43)
Full House und Chance: 36,274722 (+3,87)
kleine Straße und große Straße: 36,245553 (+7,34)
kleine Straße und Kniffel: 27,223651 (+6,46)
kleine Straße und Chance: 47,520581 (+5,72)
große Straße und Kniffel: 19,045911 (+6,30)
große Straße und Chance: 38,434841 (+4,66)
Kniffel und Chance: 27,259810 (+1,63)

Wenn noch zwei Kategorien offen sind, dann kommt es oft vor, dass die optimale Strategie für keine der beiden Kategorien einzeln betrachtet optimal ist. Einer solchen "Mischstrategie" muss man z.B. folgen, wenn man 11156 würfelt und die Fünfer und Sechser die beiden noch offenen Kategorien sind. Entgegen der Erwartung darf man nicht nur die 5 oder nur die 6 behalten, sondern man muss sowohl die 5 als auch die 6 behalten. Das gilt sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf. Nach dem dritten Wurf wird dann die eine 5 bei den Fünfern eingetragen.



Strategie für die ersten drei Würfe beim Kniffel-Spiel

In der unten aufgeführten Tabelle findet man für jede der 252 Kombination der Augenzahlen auf den fünf Würfeln die optimale Strategie nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf eines Kniffel-Spiel. Die Angaben gelten also nur am Anfang eines Kniffel-Spiels, wenn noch in keiner der 13 Kategorien (1er bis 6er, Dreierpasch, Viererpasch, Full House, kleine Straße, große Straße, Kniffel und Chance) etwas eingetragen wurde. Wie schon auf der Kniffel-Seite erwähnt wird, beträgt der Erwartungswert am Anfang des Spiels 245,870775 Punkte.

Die erste Angabe jeder Zeile enthält die jeweils erwürfelte Kombination der Augenzahlen nach dem ersten, zweiten oder dritten Wurf. Dann folgt, was man davon nach dem ersten bzw. zweiten Wurf behalten sollte. Am Ende steht, bei welcher Kategorie man nach dem dritten Wurf die entsprechende Punktzahl eintragen sollte:

11111   11111   11111   Kniffel
11112   1111_   1111_   1er
11113   1111_   1111_   1er
11114   1111_   1111_   1er
11115   1111_   1111_   1er
11116   1111_   1111_   1er
11122   11122   11122   Full House
11123   111__   111__   1er
11124   111__   111__   1er
11125   111__   111__   1er
11126   111__   111__   1er
11133   11133   11133   Full House
11134   111__   111__   1er
11135   111__   111__   1er
11136   111__   111__   1er
11144   11144   11144   Full House
11145   111__   111__   1er
11146   111__   111__   1er
11155   11155   11155   Full House
11156   111__   111__   1er
11166   11166   11166   Full House
11222   222__   11222   Full House
11223   22___   1122_   1er
11224   22___   1122_   1er
11225   22___   1122_   1er
11226   22___   1122_   1er
11233   33___   1133_   1er
11234   1234_   1234_   kleine Straße
11235   5____   11___   1er
11236   6____   11___   1er
11244   44___   44___   1er
11245   245__   11___   1er
11246   4____   11___   1er
11255   55___   55___   1er
11256   5____   11___   1er
11266   66___   66___   1er
11333   333__   11333   Full House
11334   33___   1133_   1er
11335   33___   1133_   1er
11336   33___   1133_   1er
11344   44___   44___   1er
11345   345__   345__   1er
11346   34___   11___   1er
11355   55___   55___   1er
11356   5____   11___   1er
11366   66___   66___   1er
11444   444__   444__   Full House
11445   44___   44___   1er
11446   44___   44___   1er
11455   55___   55___   1er
11456   5____   11___   1er
11466   66___   66___   1er
11555   555__   555__   Full House
11556   55___   55___   1er
11566   66___   66___   1er
11666   666__   666__   Full House
12222   2222_   2222_   2er
12223   222__   222__   2er
12224   222__   222__   2er
12225   222__   222__   2er
12226   222__   222__   2er
12233   33___   33___   2er
12234   1234_   1234_   kleine Straße
12235   22___   22___   2er
12236   22___   22___   2er
12244   44___   44___   2er
12245   22___   22___   2er
12246   22___   22___   2er
12255   55___   55___   2er
12256   22___   22___   2er
12266   66___   66___   2er
12333   333__   333__   3er
12334   33___   1234_   kleine Straße
12335   33___   33___   3er
12336   33___   33___   3er
12344   44___   1234_   kleine Straße
12345   12345   12345   große Straße
12346   1234_   1234_   kleine Straße
12355   55___   55___   1er
12356   5____   235__   1er
12366   66___   66___   1er
12444   444__   444__   4er
12445   44___   44___   1er
12446   44___   44___   1er
12455   55___   55___   1er
12456   245__   456__   1er
12466   66___   66___   1er
12555   555__   555__   5er
12556   55___   55___   1er
12566   66___   66___   Chance
12666   666__   666__   6er
13333   3333_   3333_   3er
13334   333__   333__   3er
13335   333__   333__   3er
13336   333__   333__   3er
13344   44___   44___   3er
13345   33___   33___   3er
13346   33___   33___   3er
13355   55___   55___   3er
13356   33___   33___   3er
13366   66___   66___   3er
13444   444__   444__   4er
13445   44___   44___   1er
13446   44___   44___   1er
13455   55___   55___   1er
13456   3456_   3456_   kleine Straße
13466   66___   66___   Chance
13555   555__   555__   5er
13556   55___   55___   Chance
13566   66___   66___   Chance
13666   666__   666__   6er
14444   4444_   4444_   4er
14445   444__   444__   4er
14446   444__   444__   4er
14455   55___   55___   1er
14456   44___   44___   Chance
14466   66___   66___   Chance
14555   555__   555__   5er
14556   55___   55___   Chance
14566   66___   66___   Chance
14666   666__   666__   6er
15555   5555_   5555_   5er
15556   555__   555__   5er
15566   66___   66___   Chance
15666   666__   666__   6er
16666   6666_   6666_   6er
22222   22222   22222   Kniffel
22223   2222_   2222_   2er
22224   2222_   2222_   2er
22225   2222_   2222_   2er
22226   2222_   2222_   2er
22233   222__   22233   Full House
22234   222__   222__   2er
22235   222__   222__   2er
22236   222__   222__   2er
22244   222__   22244   Full House
22245   222__   222__   2er
22246   222__   222__   2er
22255   222__   22255   Full House
22256   222__   222__   2er
22266   222__   22266   Full House
22333   333__   22333   Full House
22334   33___   33___   2er
22335   33___   33___   2er
22336   33___   33___   2er
22344   44___   44___   2er
22345   2345_   2345_   kleine Straße
22346   234__   234__   2er
22355   55___   55___   2er
22356   22___   22___   2er
22366   66___   66___   2er
22444   444__   444__   Full House
22445   44___   44___   2er
22446   44___   44___   2er
22455   55___   55___   2er
22456   22___   22___   2er
22466   66___   66___   2er
22555   555__   555__   Full House
22556   55___   55___   2er
22566   66___   66___   2er
22666   666__   666__   Full House
23333   3333_   3333_   3er
23334   333__   333__   3er
23335   333__   333__   3er
23336   333__   333__   3er
23344   44___   44___   3er
23345   2345_   2345_   kleine Straße
23346   33___   33___   3er
23355   55___   55___   3er
23356   33___   33___   3er
23366   66___   66___   3er
23444   444__   444__   4er
23445   2345_   2345_   kleine Straße
23446   44___   44___   Chance
23455   2345_   2345_   kleine Straße
23456   23456   23456   große Straße
23466   66___   66___   Chance
23555   555__   555__   5er
23556   55___   55___   Chance
23566   66___   66___   Chance
23666   666__   666__   6er
24444   4444_   4444_   4er
24445   444__   444__   4er
24446   444__   444__   4er
24455   55___   55___   Chance
24456   44___   44___   Chance
24466   66___   66___   Chance
24555   555__   555__   5er
24556   55___   55___   Chance
24566   66___   66___   Chance
24666   666__   666__   6er
25555   5555_   5555_   5er
25556   555__   555__   5er
25566   66___   66___   Chance
25666   666__   666__   Dreierpasch
26666   6666_   6666_   6er
33333   33333   33333   Kniffel
33334   3333_   3333_   3er
33335   3333_   3333_   3er
33336   3333_   3333_   3er
33344   333__   33344   Full House
33345   333__   333__   3er
33346   333__   333__   3er
33355   333__   33355   Full House
33356   333__   333__   3er
33366   333__   33366   Full House
33444   444__   444__   Full House
33445   44___   44___   3er
33446   44___   44___   3er
33455   55___   55___   3er
33456   33___   3456_   kleine Straße
33466   66___   66___   Chance
33555   555__   555__   Full House
33556   55___   55___   Chance
33566   66___   66___   Chance
33666   666__   666__   Full House
34444   4444_   4444_   4er
34445   444__   444__   4er
34446   444__   444__   4er
34455   55___   55___   Chance
34456   44___   3456_   kleine Straße
34466   66___   66___   Chance
34555   555__   555__   5er
34556   55___   3456_   kleine Straße
34566   66___   3456_   kleine Straße
34666   666__   666__   Dreierpasch
35555   5555_   5555_   5er
35556   555__   555__   Dreierpasch
35566   66___   66___   Chance
35666   666__   666__   Dreierpasch
36666   6666_   6666_   6er
44444   44444   44444   Kniffel
44445   4444_   4444_   4er
44446   4444_   4444_   4er
44455   444__   444__   Full House
44456   444__   444__   4er
44466   444__   444__   Full House
44555   555__   555__   Full House
44556   55___   55___   Chance
44566   66___   66___   Chance
44666   666__   666__   Full House
45555   5555_   5555_   5er
45556   555__   555__   Dreierpasch
45566   66___   66___   Chance
45666   666__   666__   Dreierpasch
46666   6666_   6666_   6er
55555   55555   55555   Kniffel
55556   5555_   5555_   5er
55566   555__   555__   Full House
55666   666__   666__   Dreierpasch
56666   6666_   6666_   6er
66666   66666   66666   Kniffel

Unter den 252 Ausgangskombinationen befindet sich 30mal ein Full House. Verblüffend ist, dass nach dem ersten Wurf entsprechend der optimalen Strategie in 25 Fällen das Full House wieder zerstört werden muss. In einem Fall wird das Full House sogar als Dreierpasch eingetragen. Auch unter den 14 Fällen für eine kleine Straße muss diese 6-mal wieder zerstört werden. Sehr verblüffend ist auch, dass keiner der 30 Viererpaschs als Viererpasch eingetragen wird. Alle diese verblüffenden Strategien sind rot gekennzeichnet.


Copyright © Werner Brefeld, 2007 ... 2017 (Originalquelle)

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