Wahrscheinlichkeiten beim Dreierpasch
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Dreierpasch zu erzielen, beträgt 74,319527%.
Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Dreierpasch zu erzielen
(siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.
Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten
die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:
Bei einem Kniffel, Vierling, Full House und Drilling ist man schon am Ziel.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal,
alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 6 möglichen Fälle zum Erzielen eines Dreierpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p
bei optimaler Strategie. Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 3 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten,
zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher einen Dreierpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern
stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien. Ein Drilling kann hier sowohl ein Kniffel,
Vierling, Full House als auch genau ein Drilling sein. Ebenso kann ein Zwilling sowohl genau ein Zwilling als auch zwei Zwillinge sein:
p1 = 1656/7776 = 23/108 = 21,296296% (Drilling = Dreierpasch / - / -)
p2 = (5400/7776)·(96/216) = 25/81 = 30,864198% (Zwilling / Drilling = Dreierpasch / -)
p3 = (5400/7776)·(120/216)·(96/216) = 125/729 = 17,146776% (Zwilling / Zwilling / Drilling = Dreierpasch)
p4 = (720/7776)·(276/1296) = 115/5832 = 1,971879% (Einlinge / Drilling = Dreierpasch / -)
p5 = (720/7776)·(900/1296)·(96/216) = 125/4374 = 2,857796% (Einlinge / Zwilling / Drilling = Dreierpasch)
p6 = (720/7776)·(120/1296)·(276/1296) = 575/314928 = 0,182581% (Einlinge / Einlinge / Drilling = Dreierpasch)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 234053/314928 = 74,319527%
Wie groß wäre eigentlich die entsprechende Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch". Die Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch"
errechnet sich einfach als 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dreimal keinen "Zweierpasch" zu erzielen. Sie beträgt
1 – (6 * 5! / 65)3 = 1 – (720 / 7776)3 = 1 – 0,00079383 = 99,920617%.
Wahrscheinlichkeiten beim Viererpasch
Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Viererpasch zu erzielen, beträgt 29,079358%.
Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Viererpasch zu erzielen
(siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.
Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten
die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:
Bei einem Kniffel und einem Vierling ist man schon am Ziel.
Bei einen Drilling oder Full House wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal,
alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.
Die folgende Zusammenstellung enthält die 10 möglichen Fälle zum Erzielen eines Viererpasch mit den entsprechenden
Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie. Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten
4 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon
vorher einen Viererpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum
Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien. Ein Vierling kann hier sowohl ein Kniffel als auch genau ein Vierling sein.
Ebenso kann ein Drilling hier sowohl ein Full House als auch genau ein Drilling sein. Schließlich kann ein Zwilling sowohl
genau ein Zwilling als auch zwei Zwillinge sein:
p1 = 156/7776 = 13/648 = 2,006173% (Vierling = Viererpasch / - / -)
p2 = (1500/7776)·(11/36) = 1375/23328 = 5,894204% (Drilling / Vierling = Viererpasch / -)
p3 = (1500/7776)·(25/36)·(11/36) = 34375/839808 = 4,093197% (Drilling / Drilling / Vierling = Viererpasch)
p4 = (5400/7776)·(16/216) = 25/486 = 5,144033% (Zwilling / Vierling = Viererpasch / -)
p5 = (5400/7776)·(80/216)·(11/36) = 1375/17496 = 7,858939% (Zwilling / Drilling / Vierling = Viererpasch)
p6 = (5400/7776)·(120/216)·(16/216) = 125/4374 = 2,857796% (Zwilling / Zwilling / Vierling = Viererpasch)
p7 = (720/7776)·(26/1296) = 65/34992 = 0,185757% (Einlinge / Vierling = Viererpasch / -)
p8 = (720/7776)·(250/1296)·(11/36) = 6875/1259712 = 0,545760% (Einlinge / Drilling / Vierling = Viererpasch)
p9 = (720/7776)·(900/1296)·(16/216) = 125/26244 = 0,476299% (Einlinge / Zwilling / Vierling = Viererpasch)
p10 = (720/7776)·(120/1296)·(26/1296) = 325/1889568 = 0,017200% (Einlinge / Einlinge / Vierling = Viererpasch)
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten
und führt auf den schon oben angegebenen Wert:
pgesamt = 2197897/7558272 = 29,079358%
Wahrscheinlichkeiten für die Summen der Augenzahlen bei der Chance
Die folgende Zusammenstellung enthält die Wahrscheinlichkeiten pn, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie die Summe n
der Augenzahlen zu erzielen:
p5 = 248830 / 470184984576 = 0.0001%
p6 = 1244160 / 470184984576 = 0.0003%
p7 = 3732480 / 470184984576 = 0.0008%
p8 = 11197440 / 470184984576 = 0.0024%
p9 = 33592320 / 470184984576 = 0.0071%
p10 = 87340030 / 470184984576 = 0.0186%
p11 = 197821440 / 470184984576 = 0.0421%
p12 = 429235200 / 470184984576 = 0.0913%
p13 = 906992640 / 470184984576 = 0.1929%
p14 = 1777904640 / 470184984576 = 0.3781%
p15 = 3210181630 / 470184984576 = 0.6827%
p16 = 5527802880 / 470184984576 = 1.1757%
p17 = 9208028160 / 470184984576 = 1.9584%
p18 = 14463360000 / 470184984576 = 3.0761%
p19 = 21107174400 / 470184984576 = 4.4891%
p20 = 29129020410 / 470184984576 = 6.1952%
p21 = 38586378240 / 470184984576 = 8.2066%
p22 = 48171386880 / 470184984576 = 10.2452%
p23 = 55091404800 / 470184984576 = 11.7170%
p24 = 57778790400 / 470184984576 = 12.2885%
p25 = 56757583870 / 470184984576 = 12.0713%
p26 = 51597803520 / 470184984576 = 10.9739%
p27 = 40310784000 / 470184984576 = 8.5734%
p28 = 24186470400 / 470184984576 = 5.1440%
p29 = 9674588160 / 470184984576 = 2.0576%
p30 = 1934917630 / 470184984576 = 0.4115%
Erwartungswerte für zwei offene Kategorien beim Kniffel-Spiel
In der folgenden Tabelle sind alle 78 Fälle aufgeführt, bei denen noch genau 2 Kategorien offen sind. Angegeben sind die mittleren
Punktzahlen (Erwartungswerte), die man dann jeweils bei optimaler Strategie erreicht. Bonuspunkte wurden bei dieser Berechnung
nicht berücksichtigt. Die Werte in den Klammern geben an, wie viele Punkte man im Mittel mehr erzielt, als wenn man die beiden
Kategorien jeweils einzeln optimiert hätte:
Einer und Zweier: 7,122429 (+0,80)
Einer und Dreier: 9,572760 (+1,15)
Einer und Vierer: 12,040419 (+1,51)
Einer und Fünfer: 14,509981 (+1,87)
Einer und Sechser: 16,981755 (+2,24)
Einer und Dreierpasch: 21,817047 (+4,52)
Einer und Viererpasch: 10,761901 (+3,04)
Einer und Full House: 16,358312 (+5,18)
Einer und kleine Straße: 27,194479 (+6,62)
Einer und große Straße: 19,263079 (+6,71)
Einer und Kniffel: 5,893168 (+1,49)
Einer und Chance: 26,459315 (+1,02)
Zweier und Dreier: 11,830067 (+1,30)
Zweier und Vierer: 14,244857 (+1,61)
Zweier und Fünfer: 16,693681 (+1,95)
Zweier und Sechser: 19,145519 (+2,29)
Zweier und Dreierpasch: 23,488120 (+4,08)
Zweier und Viererpasch: 12,346240 (+2,52)
Zweier und Full House: 17,893059 (+4,61)
Zweier und kleine Straße: 29,052529 (+6,38)
Zweier und große Straße: 20,743299 (+6,09)
Zweier und Kniffel: 8,018201 (+1,50)
Zweier und Chance: 28,658342 (+1,11)
Dreier und Vierer: 16,539606 (+1,79)
Dreier und Fünfer: 18,950596 (+2,10)
Dreier und Sechser: 21,367286 (+2,41)
Dreier und Dreierpasch: 25,359175 (+3,85)
Dreier und Viererpasch: 14,310305 (+2,38)
Dreier und Full House: 19,494080 (+4,10)
Dreier und kleine Straße: 30,642444 (+5,86)
Dreier und große Straße: 22,133538 (+5,37)
Dreier und Kniffel: 10,409530 (+1,79)
Dreier und Chance: 30,954951 (+1,30)
Vierer und Fünfer: 21,249144 (+2,29)
Vierer und Sechser: 23,660134 (+2,60)
Vierer und Dreierpasch: 27,416903 (+3,80)
Vierer und Viererpasch: 16,537325 (+2,50)
Vierer und Full House: 21,242074 (+3,74)
Vierer und kleine Straße: 32,476655 (+5,59)
Vierer und große Straße: 23,603208 (+4,73)
Vierer und Kniffel: 12,822288 (+2,10)
Vierer und Chance: 33,347083 (+1,59)
Fünfer und Sechser: 25,958683 (+2,79)
Fünfer und Dreierpasch: 29,511368 (+3,78)
Fünfer und Viererpasch: 18,779091 (+2,64)
Fünfer und Full House: 23,230038 (+3,63)
Fünfer und kleine Straße: 34,829906 (+5,83)
Fünfer und große Straße: 25,232258 (+4,26)
Fünfer und Kniffel: 15,235046 (+2,40)
Fünfer und Chance: 35,559533 (+1,69)
Sechser und Dreierpasch: 31,518629 (+3,69)
Sechser und Viererpasch: 21,230356 (+2,98)
Sechser und Full House: 25,317122 (+3,61)
Sechser und kleine Straße: 36,641378 (+5,54)
Sechser und große Straße: 27,351177 (+4,27)
Sechser und Kniffel: 17,668410 (+2,73)
Sechser und Chance: 37,343785 (+1,37)
Dreierpasch und Viererpasch: 25,644149 (+4,84)
Dreierpasch und Full House: 28,595980 (+4,33)
Dreierpasch und kleine Straße: 38,684169 (+5,03)
Dreierpasch und große Straße: 29,466734 (+3,83)
Dreierpasch und Kniffel: 22,693226 (+5,20)
Dreierpasch und Chance: 42,805413 (+4,28)
Viererpasch und Full House: 19,636379 (+4,95)
Viererpasch und kleine Straße: 29,823318 (+5,75)
Viererpasch und große Straße: 20,798317 (+4,74)
Viererpasch und Kniffel: 11,695701 (+3,78)
Viererpasch und Chance: 31,629982 (+2,69)
Full House und kleine Straße: 32,995930 (+5,46)
Full House und große Straße: 23,421948 (+3,91)
Full House und Kniffel: 16,798868 (+5,43)
Full House und Chance: 36,274722 (+3,87)
kleine Straße und große Straße: 36,245553 (+7,34)
kleine Straße und Kniffel: 27,223651 (+6,46)
kleine Straße und Chance: 47,520581 (+5,72)
große Straße und Kniffel: 19,045911 (+6,30)
große Straße und Chance: 38,434841 (+4,66)
Kniffel und Chance: 27,259810 (+1,63)
Wenn noch zwei Kategorien offen sind, dann kommt es oft vor, dass die optimale Strategie
für keine der beiden Kategorien einzeln betrachtet optimal ist. Einer solchen "Mischstrategie"
muss man z.B. folgen, wenn man 11156 würfelt und die Fünfer und Sechser die beiden noch
offenen Kategorien sind. Entgegen der Erwartung darf man nicht nur die 5 oder nur die 6
behalten, sondern man muss sowohl die 5 als auch die 6 behalten. Das gilt sowohl nach dem
ersten als auch nach dem zweiten Wurf. Nach dem dritten Wurf wird dann die eine 5 bei den
Fünfern eingetragen.
Strategie für die ersten drei Würfe beim Kniffel-Spiel
In der unten aufgeführten Tabelle findet man für jede der 252 Kombination der Augenzahlen auf den fünf Würfeln die optimale Strategie
nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf eines Kniffel-Spiel. Die Angaben gelten also nur am Anfang eines Kniffel-Spiels,
wenn noch in keiner der 13 Kategorien (1er bis 6er, Dreierpasch, Viererpasch, Full House, kleine Straße, große Straße,
Kniffel und Chance) etwas eingetragen wurde. Wie schon auf der Kniffel-Seite erwähnt wird, beträgt der
Erwartungswert am Anfang des Spiels 245,870775 Punkte.
Die erste Angabe jeder Zeile enthält die jeweils erwürfelte Kombination der Augenzahlen nach dem ersten, zweiten oder
dritten Wurf. Dann folgt, was man davon nach dem ersten bzw. zweiten Wurf behalten sollte. Am Ende steht, bei welcher Kategorie
man nach dem dritten Wurf die entsprechende Punktzahl eintragen sollte:
11111 11111 11111 Kniffel
11112 1111_ 1111_ 1er
11113 1111_ 1111_ 1er
11114 1111_ 1111_ 1er
11115 1111_ 1111_ 1er
11116 1111_ 1111_ 1er
11122 11122 11122 Full House
11123 111__ 111__ 1er
11124 111__ 111__ 1er
11125 111__ 111__ 1er
11126 111__ 111__ 1er
11133 11133 11133 Full House
11134 111__ 111__ 1er
11135 111__ 111__ 1er
11136 111__ 111__ 1er
11144 11144 11144 Full House
11145 111__ 111__ 1er
11146 111__ 111__ 1er
11155 11155 11155 Full House
11156 111__ 111__ 1er
11166 11166 11166 Full House
11222 222__ 11222 Full House
11223 22___ 1122_ 1er
11224 22___ 1122_ 1er
11225 22___ 1122_ 1er
11226 22___ 1122_ 1er
11233 33___ 1133_ 1er
11234 1234_ 1234_ kleine Straße
11235 5____ 11___ 1er
11236 6____ 11___ 1er
11244 44___ 44___ 1er
11245 245__ 11___ 1er
11246 4____ 11___ 1er
11255 55___ 55___ 1er
11256 5____ 11___ 1er
11266 66___ 66___ 1er
11333 333__ 11333 Full House
11334 33___ 1133_ 1er
11335 33___ 1133_ 1er
11336 33___ 1133_ 1er
11344 44___ 44___ 1er
11345 345__ 345__ 1er
11346 34___ 11___ 1er
11355 55___ 55___ 1er
11356 5____ 11___ 1er
11366 66___ 66___ 1er
11444 444__ 444__ Full House
11445 44___ 44___ 1er
11446 44___ 44___ 1er
11455 55___ 55___ 1er
11456 5____ 11___ 1er
11466 66___ 66___ 1er
11555 555__ 555__ Full House
11556 55___ 55___ 1er
11566 66___ 66___ 1er
11666 666__ 666__ Full House
12222 2222_ 2222_ 2er
12223 222__ 222__ 2er
12224 222__ 222__ 2er
12225 222__ 222__ 2er
12226 222__ 222__ 2er
12233 33___ 33___ 2er
12234 1234_ 1234_ kleine Straße
12235 22___ 22___ 2er
12236 22___ 22___ 2er
12244 44___ 44___ 2er
12245 22___ 22___ 2er
12246 22___ 22___ 2er
12255 55___ 55___ 2er
12256 22___ 22___ 2er
12266 66___ 66___ 2er
12333 333__ 333__ 3er
12334 33___ 1234_ kleine Straße
12335 33___ 33___ 3er
12336 33___ 33___ 3er
12344 44___ 1234_ kleine Straße
12345 12345 12345 große Straße
12346 1234_ 1234_ kleine Straße
12355 55___ 55___ 1er
12356 5____ 235__ 1er
12366 66___ 66___ 1er
12444 444__ 444__ 4er
12445 44___ 44___ 1er
12446 44___ 44___ 1er
12455 55___ 55___ 1er
12456 245__ 456__ 1er
12466 66___ 66___ 1er
12555 555__ 555__ 5er
12556 55___ 55___ 1er
12566 66___ 66___ Chance
12666 666__ 666__ 6er
13333 3333_ 3333_ 3er
13334 333__ 333__ 3er
13335 333__ 333__ 3er
13336 333__ 333__ 3er
13344 44___ 44___ 3er
13345 33___ 33___ 3er
13346 33___ 33___ 3er
13355 55___ 55___ 3er
13356 33___ 33___ 3er
13366 66___ 66___ 3er
13444 444__ 444__ 4er
13445 44___ 44___ 1er
13446 44___ 44___ 1er
13455 55___ 55___ 1er
13456 3456_ 3456_ kleine Straße
13466 66___ 66___ Chance
13555 555__ 555__ 5er
13556 55___ 55___ Chance
13566 66___ 66___ Chance
13666 666__ 666__ 6er
14444 4444_ 4444_ 4er
14445 444__ 444__ 4er
14446 444__ 444__ 4er
14455 55___ 55___ 1er
14456 44___ 44___ Chance
14466 66___ 66___ Chance
14555 555__ 555__ 5er
14556 55___ 55___ Chance
14566 66___ 66___ Chance
14666 666__ 666__ 6er
15555 5555_ 5555_ 5er
15556 555__ 555__ 5er
15566 66___ 66___ Chance
15666 666__ 666__ 6er
16666 6666_ 6666_ 6er
22222 22222 22222 Kniffel
22223 2222_ 2222_ 2er
22224 2222_ 2222_ 2er
22225 2222_ 2222_ 2er
22226 2222_ 2222_ 2er
22233 222__ 22233 Full House
22234 222__ 222__ 2er
22235 222__ 222__ 2er
22236 222__ 222__ 2er
22244 222__ 22244 Full House
22245 222__ 222__ 2er
22246 222__ 222__ 2er
22255 222__ 22255 Full House
22256 222__ 222__ 2er
22266 222__ 22266 Full House
22333 333__ 22333 Full House
22334 33___ 33___ 2er
22335 33___ 33___ 2er
22336 33___ 33___ 2er
22344 44___ 44___ 2er
22345 2345_ 2345_ kleine Straße
22346 234__ 234__ 2er
22355 55___ 55___ 2er
22356 22___ 22___ 2er
22366 66___ 66___ 2er
22444 444__ 444__ Full House
22445 44___ 44___ 2er
22446 44___ 44___ 2er
22455 55___ 55___ 2er
22456 22___ 22___ 2er
22466 66___ 66___ 2er
22555 555__ 555__ Full House
22556 55___ 55___ 2er
22566 66___ 66___ 2er
22666 666__ 666__ Full House
23333 3333_ 3333_ 3er
23334 333__ 333__ 3er
23335 333__ 333__ 3er
23336 333__ 333__ 3er
23344 44___ 44___ 3er
23345 2345_ 2345_ kleine Straße
23346 33___ 33___ 3er
23355 55___ 55___ 3er
23356 33___ 33___ 3er
23366 66___ 66___ 3er
23444 444__ 444__ 4er
23445 2345_ 2345_ kleine Straße
23446 44___ 44___ Chance
23455 2345_ 2345_ kleine Straße
23456 23456 23456 große Straße
23466 66___ 66___ Chance
23555 555__ 555__ 5er
23556 55___ 55___ Chance
23566 66___ 66___ Chance
23666 666__ 666__ 6er
24444 4444_ 4444_ 4er
24445 444__ 444__ 4er
24446 444__ 444__ 4er
24455 55___ 55___ Chance
24456 44___ 44___ Chance
24466 66___ 66___ Chance
24555 555__ 555__ 5er
24556 55___ 55___ Chance
24566 66___ 66___ Chance
24666 666__ 666__ 6er
25555 5555_ 5555_ 5er
25556 555__ 555__ 5er
25566 66___ 66___ Chance
25666 666__ 666__ Dreierpasch
26666 6666_ 6666_ 6er
33333 33333 33333 Kniffel
33334 3333_ 3333_ 3er
33335 3333_ 3333_ 3er
33336 3333_ 3333_ 3er
33344 333__ 33344 Full House
33345 333__ 333__ 3er
33346 333__ 333__ 3er
33355 333__ 33355 Full House
33356 333__ 333__ 3er
33366 333__ 33366 Full House
33444 444__ 444__ Full House
33445 44___ 44___ 3er
33446 44___ 44___ 3er
33455 55___ 55___ 3er
33456 33___ 3456_ kleine Straße
33466 66___ 66___ Chance
33555 555__ 555__ Full House
33556 55___ 55___ Chance
33566 66___ 66___ Chance
33666 666__ 666__ Full House
34444 4444_ 4444_ 4er
34445 444__ 444__ 4er
34446 444__ 444__ 4er
34455 55___ 55___ Chance
34456 44___ 3456_ kleine Straße
34466 66___ 66___ Chance
34555 555__ 555__ 5er
34556 55___ 3456_ kleine Straße
34566 66___ 3456_ kleine Straße
34666 666__ 666__ Dreierpasch
35555 5555_ 5555_ 5er
35556 555__ 555__ Dreierpasch
35566 66___ 66___ Chance
35666 666__ 666__ Dreierpasch
36666 6666_ 6666_ 6er
44444 44444 44444 Kniffel
44445 4444_ 4444_ 4er
44446 4444_ 4444_ 4er
44455 444__ 444__ Full House
44456 444__ 444__ 4er
44466 444__ 444__ Full House
44555 555__ 555__ Full House
44556 55___ 55___ Chance
44566 66___ 66___ Chance
44666 666__ 666__ Full House
45555 5555_ 5555_ 5er
45556 555__ 555__ Dreierpasch
45566 66___ 66___ Chance
45666 666__ 666__ Dreierpasch
46666 6666_ 6666_ 6er
55555 55555 55555 Kniffel
55556 5555_ 5555_ 5er
55566 555__ 555__ Full House
55666 666__ 666__ Dreierpasch
56666 6666_ 6666_ 6er
66666 66666 66666 Kniffel
Unter den 252 Ausgangskombinationen befindet sich 30mal ein Full House. Verblüffend ist, dass nach dem ersten Wurf entsprechend der
optimalen Strategie in 25 Fällen das Full House wieder zerstört werden muss. In einem Fall wird das Full House sogar als Dreierpasch eingetragen.
Auch unter den 14 Fällen für eine kleine Straße muss diese 6-mal wieder zerstört werden. Sehr verblüffend ist auch, dass keiner der
30 Viererpaschs als Viererpasch eingetragen wird. Alle diese verblüffenden Strategien sind rot gekennzeichnet.
Copyright © Werner Brefeld, 2007 ... 2017 (Originalquelle)
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