quadratsumme

Stochastik-Formeln mit konkreten Beispielen

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

E-Mail gerne an: werner.brefeld@web.de (Fragen werden beantwortet und auf Bemerkungen wird eingegangen.)


Diese Seite enthält eine Reihe von konkreten Beispielen aus dem Bereich der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Für viele Beispiele benötigt man nur die Kenntnis der elementaren Stochastik-Formeln für Permutationen, Kombinationen und Variationen (weitere Erläuterungen der Formeln auf dieser Seite auf Anfrage) .

Siehe dazu auch mein Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"


Permutationen, Kombinationen und Variationen

Permutationen mit und ohne Wiederholung (Anzahl der Reihenfolgen für eine bestimmte Ziehung):

Anzahl der Möglichkeiten bei n Kugeln, wobei n1 Kugeln vom Typ 1, n2 Kugeln vom Typ 2, ... und nk Kugeln vom Typ k sind und n = n1 + n2 + ... + nk ist:

Pn = n! / (n1! · n2! ·...· nk!)

Wenn alle Kugeln verschieden sind (Permutationen ohne Wiederholung), gilt: Pn = n!

Kombinationen ohne Wiederholung (Ziehung ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge ist egal.):

Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (ohne Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:

Cn,k = (nk) = n! / (k!·(n–k)!)

Kombinationen mit Wiederholung (Ziehung mit Zurücklegen. Die Reihenfolge ist egal. Die Möglichkeiten sind aber nicht gleichwahrscheinlich!):

Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (mit Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:

Cn,k = (n–1+kk) = (n–1+k)! / (k!·(n–1)!)

Variationen ohne Wiederholung (Ziehung ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge ist wichtig.):

Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (ohne Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:

Vn,k = (nk) · k! = n! / (n–k)!

Variationen mit Wiederholung (Ziehung mit Zurücklegen. Die Reihenfolge ist wichtig.):

Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (mit Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:

Vn,k = nk

Bemerkung:

Das Ziehen von k Kugeln (mit Zurücklegen der jeweils gezogenen Kugel) bei n unterscheidbaren Kugeln entspricht dem k-fachen Würfeln mit einem „Würfel“ mit n unterscheidbaren gleichen Flächen.



Beispiel 1 (Ziehungsmöglichkeiten bei Lotto 6 aus 49)

Wie viele Möglichkeiten gibt es, k=6 Kugeln von n=49 unterscheidbaren Kugeln zu ziehen, wenn die Kugeln nicht zurückgelegt werden und die Reihenfolge keine Rolle spielt (Lotto 6 aus 49)?

Für die Zahl der Möglichkeiten, die alle gleichwahrscheinlich sind, gilt:

Nn,k = (nk) = n! / (k!·(n–k)!) (Kombinationen ohne Wiederholung)
N49,6 = 49! / (6!·43!) = (49! / 43!) / 6! = 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 / (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6) = 13.983.816

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten dieser Kombinationen und damit die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Lotto ist dann also:

Pn,k = 1 / Nn,k = 1/13.983.816

Alternative Herleitung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel richtig ist, beträgt 6/49.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dann auch die zweite gezogene Kugel richtig ist, beträgt 5/48.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dann auch die dritte gezogene Kugel richtig ist, beträgt 4/47.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 gezogenen Kugeln richtig sind, beträgt dann 6/49 · 5/48 · 4/47 · 3/46 · 2/45 · 1/44 = 1/13.983.816.

Die Wahrscheinlichkeit, zu den 6 richtigen Lottozahlen auch noch die Superzahl richtig zu haben, ist zehnmal so klein (wegen der zehn Möglichkeiten für die Superzahl: 0, 1, 2, ... , 9) und beträgt nur 1 : 139.838.160.

Beispiele für andere Ziehungsarten:

Lotto 0 aus 49: N49,0 = 1
Lotto 1 aus 49: N49,1 = 49
Lotto 2 aus 49: N49,2 = 1176
Lotto 3 aus 49: N49,3 = 18.424
Lotto 4 aus 49: N49,4 = 211.876
Lotto 5 aus 49: N49,5 = 1.906.884
Lotto 6 aus 49: N49,6 = 13.983.816
Lotto 7 aus 49: N49,7 = 85.900.584
Lotto 8 aus 49: N49,8 = 450.978.066

Bei Lotto 24 aus 49 und Lotto 25 aus 49 ist die Zahl der Möglichkeiten am größten. Danach nimmt sie in gleicher Weise wieder ab, wie sie zugenommen hat. Lotto 6 aus 49 hat deshalb genau so viele Möglichkeiten wie Lotto 43 aus 49.

Weitere Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten beim Lotto findet man auf der Lotto-Seite.



Beispiel 2 (Würfeln)

Wie viele Möglichkeiten gibt es bei k=3 maligem Würfeln mit einem Würfel mit n=6 unterscheidbaren Flächen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt? Das entspricht der Ziehung von k=3 Kugeln bei n=6 unterscheidbaren Kugeln, wenn die Kugeln jedes Mal zurückgelegt werden und die Reihenfolge auch hier keine Rolle spielt.

Für die Zahl der Möglichkeiten gilt (Die Möglichkeiten sind nicht gleichwahrscheinlich!):

Nn,k = (n–1+k)! / (k!·(n–1)!) (Kombinationen mit Wiederholung)
N6,3 = (6–1+3)! / (3!·(6–1)!) = 8! / (3!·5!) = 56

Es gibt 6 Möglichkeiten, bei denen 3 gleiche Flächen vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils 1/216.
Es gibt 30 Möglichkeiten, bei denen 2 gleiche Flächen vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils 3/216.
Es gibt 20 Möglichkeiten, bei denen alle Flächen verschieden sind. Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils 6/216.
( 6 · 1/216 + 30 · 3/216 + 20 · 6/216 = 1 (siehe Beispiel 4))

Weitere Beispiele:

N6,1 = 6
N6,2 = 21
N6,3 = 56
N6,4 = 126
N6,5 = 252
N6,6 = 462
N6,7 = 792
N6,8 = 1287
N6,9 = 2002
N6,10 = 3003
N6,11 = 4368
N6,12 = 6188



Beispiel 3 (Ziehungsmöglichkeiten bei Lotto 6 aus 49 mit Ziehungsreihenfolge)

Wie viele Möglichkeiten gibt es, k=6 Kugeln von n=49 unterscheidbaren Kugeln zu ziehen, wenn die Kugeln nicht zurückgelegt werden und die Reihenfolge wichtig ist?

Für die Zahl der Möglichkeiten gilt (Die Möglichkeiten sind alle gleichwahrscheinlich.):

Nn,k = n! / (n–k)! (Variationen ohne Wiederholung)
N49,6 = 49! / 43! = 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10.068.347.520



Beispiel 4 (Zahlenschloss am Fahrrad)

Wie viele Möglichkeiten hat ein k=4 stelliges Zahlenschloss mit n=6 Ziffern an jeder Stelle? Das entspricht der Anzahl der Möglichkeiten bei 4 maligem Würfeln mit einem Würfel mit 6 unterscheidbaren Flächen, wenn die Reihenfolge wichtig ist. Das entspricht ebenso der Ziehung von 4 Kugeln bei 6 unterscheidbaren Kugeln, wenn die Kugeln jedes Mal zurückgelegt werden und die Reihenfolge auch hier wichtig ist.

Für die Zahl der Möglichkeiten gilt (Die Möglichkeiten sind alle gleichwahrscheinlich.):

Nn,k = nk (Variationen mit Wiederholung)
N6,4 = 64 = 1296

Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Code des Fahrradschlosses zu erraten, beträgt dann:

Pn,k = 1 / Nn,k
P6,4 = 1 / N6,4 = 1 / 1296 = 0,0007716 = 0,07716%

Genau so groß ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, beim 4 maligen Würfeln mit einem Würfel nur Sechsen zu würfeln.



Beispiel 5 (4 Richtige bei Lotto 6 aus 49)

Es werden k=6 Kugeln von n=49 unterscheidbaren Kugeln ausgewählt, wobei r=6 „richtige“ Kugeln gezogen und nicht zurückgelegt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den k=6 Kugeln m=4 "richtige Kugeln" befinden? Die Reihenfolge der Auswahl soll keine Rolle spielen.

Die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl von m=4 „richtigen“ Kugeln ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 4 von 6 „richtigen“ Kugeln auszuwählen, multipliziert mit der Anzahl der Möglichkeiten, 2 von 43 „falschen“ Kugeln auszuwählen, geteilt durch die Anzahl der Möglichkeiten, irgendwelche 6 Kugeln auszuwählen. Für die Wahrscheinlichkeit gilt also:

P = (rm) · (n–rk–m) / (nk) (hypergeometrische Verteilung)
P = (64) · (432) / (496) = (6!/(4!·2!)) · (43!/(2!·41!)) / (49!/(6!·43!))
= (6 · 5 / (1 · 2)) · (43 · 42 / (1 · 2)) · (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 / (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6))
= 645/665.896 = 1/1032,3969 = 0,00096862 = 0,096862%

Die Formel gilt natürlich auch, wenn anders als in diesem Beispiel die Anzahl der ausgewählten Kugeln kleiner ist als die Anzahl der gezogenen Kugeln (wie z.B. bei KENO).
Weitere Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten beim Lotto findet man auf der Lotto-Seite.



Beispiel 6 (Zwei Kinder gleichen Namens)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass m=2 Kinder gleichen Namens in eine bestimmte Schule gehen, wenn von insgesamt n=511 Kindern nur r=2 Kinder den gleichen Namen besitzen und nur jeweils k=7 Kinder in die gleiche Schule gehen. Die Kinder sind also auf n/k=73 Schulen verteilt.

Die Wahrscheinlichkeit ist gleich der Zahl der Möglichkeiten, beide Kinder gleichen Namens zu „ziehen“, multipliziert mit der Zahl der Möglichkeiten, 5 von 509 Kindern mit verschiedenen Namen zu „ziehen“, geteilt durch die Zahl der Möglichkeiten, irgendwelche 7 Kinder von 511 Kindern zu "ziehen". Für die Wahrscheinlichkeit gilt also:

P = (rm) · (n–rk–m) / (nk) (hypergeometrische Verteilung)
P = (22) · (5095) / (5117) = (2!/(2!·0!)) · (509!/(5!·504!)) / (511!/(7!·504!))
P = 7·6 / (511·510) = 1/6205 = 0,00016116 = 0,016116%

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes der beiden Kinder in eine bestimmte Schule geht, beträgt = 7/511 = 0,013699 = 1,3699%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder in eine bestimmte Schule gehen, beträgt (7/511) · (6/510) = 0,00016116 = 0,016116%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder in eine gemeinsame Schule gehen, beträgt 73 · (7/511) · (6/510) = 6/510 = 0,011765 = 1,1765%.



Beispiel 7 (Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen)

In einer Urne liegen n1=12 rote Kugeln, n2=8 grüne Kugeln und n3=4 gelbe Kugeln. Es werden k=12 Kugeln von diesen n=24 Kugeln ausgewählt, wobei die Kugeln nicht zurückgelegt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter diesen k=12 Kugeln genau k1=7 rote Kugeln, k2=3 grüne Kugeln und k3=2 gelbe Kugeln befinden?

Für die Wahrscheinlichkeit P gilt dann:

P = (n1k1) · (n2k2) · (n3k3) / (nk) (verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung) (n = n1 + n2 + n3) (k = k1 + k2 + k3)
P = (127) · (83) · (42) / (2412) = (12!/(7!·5!)) · (8!/(3!·5!)) · (4!/(2!·2!)) / (24!/(12!·12!))
= 792 · 56 · 6 / 2704156 = 266112 / 2704156 = 0,0984085 = 9,84085%



Beispiel 8 ("Kopf" oder "Zahl" beim Münzwurf)

Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, mit n=8 Würfen einer Münze (k=2 Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl") genau m=4 mal „Kopf“ (r=1 Möglichkeit) zu erzielen? Für die Wahrscheinlichkeit gilt:

Pn,m = (nm) · pm · (1–p)n–m (Binomialverteilung) (p = r/k)
P8,4 = (84) · (1/2)4 · (1–1/2)8–4 = (84) · (1/2)8 = 70 / 256 = 0,2734375 = 27,34375%

Alle Möglichkeiten:

P8,0 = P8,8 = 1 / 256 = 0,00390625 = 0,390625%
P8,1 = P8,7 = 8 / 256 = 0,03125 = 3,125%
P8,2 = P8,6 = 28 / 256 = 0,109375 = 10,9375%
P8,3 = P8,5 = 56 / 256 = 0,21875 = 21,875%
P8,4 = 70 / 256 = 0,2734375 = 27,34375%



Beispiel 9 (Würfeln)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit n=12 Würfen eines Würfels (k=6) genau m=2 mal eine „Sechs“ (r=1) zu erzielen? Für die Wahrscheinlichkeit gilt:

Pn,m = (nm) · (r/k)m · (1–r/k)n–m = (nm) · pm · (1–p)n–m (Binomialverteilung) (p = r/k)
P12,2 = (122) · (1/6)2 · (1–1/6)12–2 = (122) · (1/6)2 · (5/6)10 = 0,296094 = 29,6094%

Weitere Beispiele:

P12,0 = 0,112157 = 11,2157%
P12,1 = 0,269176 = 26,9176%
P12,2 = 0,296094 = 29,6094%
P12,3 = 0,197396 = 19,7396%
P12,4 = 0,088828 = 8,8828%
P12,5 = 0,028425 = 2,8425%
P12,6 = 0,006632 = 0,6632%
P12,7 = 0,001137 = 0,1137%
P12,8 = 0,000142 = 0,0142%
P12,9 = 0,000013 = 0,0013%
P12,10 = 0,000001 = 0,0001%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit n=12 Würfen eines Würfels (k=6) genau m1=2 mal eine „Eins“ (r1=1), genau m2=7 mal eine Primzahl (r2=3) und genau m3=3 mal eine zusammengesetzte Zahl (r3=2) zu erzielen? Es gilt:

P = (n! / (m1!·m2!·m3!)) · p1m1 · p2m2 · p3m3 (Multinomialverteilung oder Polynomialverteilung) (p1 = r1/k, p2 = r2/k, p3 = r3/k)
P = (12! / (2!·7!·3!)) · (1/6)2 · (1/2)7 · (1/3)3 = 0,063657 = 6,3657%



Beispiel 10 (Würfeln)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit n=4 Würfen eines Würfels (k=6) mindestens einmal eine „Sechs“ zu erzielen? Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich als 1 minus der Wahrscheinlichkeit, mit 4 Würfen keine „Sechs“ zu erzielen:

Pn,k = 1 – (1 – 1/k)n
P4,6 = 1 – (5/6)4 = 1 – 0,482253 = 0,517747 = 51,7747%

Für einen Dodekaeder-Würfel (k=12) ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=8 Würfen mindestens einmal eine "Zwölf" zu erzielen:

P8,12 = 1 – (11/12)8 = 1 – 0,498530 = 0,501470 = 50,1470%

Wenn man genau so viele Würfe machen darf wie der "Würfel" Flächen hat (k=n), dann ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal die größte Augenzahl n zu erzielen:

Pn = 1 – (1 – 1/n)n

Wenn man mit einem "normalen" Würfel (k=6) sechsmal würfelt, beträgt demnach die Wahrscheinlichkeit 66,5102%, mindestens einmal die 6 zu würfeln. Außerdem ist natürlich richtig, dass man im Mittel 6 Würfe braucht, um eine 6 zu würfeln.

Wird n immer größer, dann ergibt sich ein interessanter Grenzfall. Die Wahrscheinlichkeit Pn = 1 – (1 – 1/n)n nähert sich immer mehr dem Wert 1 – 1/e = 1/2,7182818 = 0,632121 = 63,2121% an.



Beispiel 11 (Würfeln mit zwei Würfeln)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit n=24 Würfen mit m=2 Würfeln (k=6) mindestens einmal m=2 "Sechsen" zu erzielen?

Herleitung:
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf von m=2 Würfeln (k=6) m=2 "Sechsen" zu erzielen, beträgt (1/k)m.
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf von m=2 Würfeln (k=6) keine m=2 "Sechsen" zu erzielen, beträgt 1 – (1/k)m.
Die Wahrscheinlichkeit, mit n=24 Würfen mit m=2 Würfeln (k=6) keinmal m=2 "Sechsen" zu erzielen, beträgt (1 – (1/k)m)n.
Die Wahrscheinlichkeit, mit n=24 Würfen mit m=2 Würfeln (k=6) mindestens einmal m=2 "Sechsen" zu erzielen, ist dann:

Pn,k,m = 1 – (1 – (1/k)m)n
P24,6,2 = 1 – (1 – (1/6)2)24 = 1 – (35/36)24 = 1 – 0,508596 = 0,491404 = 49,1404%



Beispiel 12 (Geburtstag am gleichen Tag)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von k=23 Kindern mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? Das entspricht der Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Kugel zweimal zu ziehen, wenn man von n=365 unterscheidbaren Kugeln 23 Kugeln zieht und die gezogene Kugel jeweils wieder zurücklegt (siehe auch die Geburtstagsrätsel-Seite).

Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich als 1 minus der Anzahl der Möglichkeiten, bei denen keine Kugel mehrmals gezogen wurde (Variationen ohne Wiederholung), geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (Variationen mit Wiederholung). Die Reihenfolge der Ziehung ist wichtig, damit alle Möglichkeiten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Es gilt also:

Pn,k = 1 – (n!/(n–k)!) / nk
P365,23 = 1 – (365! / 342!) / 36523 = 1 – 365 · 364 ·...· 343 / 36523 = 1 – 0,492703 = 0,507297 = 50,7297%

Bei 2 Kindern ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, gleich (364/365).
Bei 3 Kindern ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, gleich (364/365) · (363/365).
Bei k Kindern ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, gleich n · (n–1) · (n–2) ·...· (n–k+1) / nk = (n!/(n–k)!) / nk.



Beispiel 13 (Geburtstag am gleichen Tag)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=23 Würfen eines „Würfels“ mit 365 gleichen Flächen (n=365) nur Einlinge (g=0), einen Zwilling (g=1, z=2), einen Drilling (g=1, z=3), einen Vierling (g=1, z=4), einen Fünfling (g=1, z=5), zwei Zwillinge (g=2, z=2), drei Zwillinge (g=3, z=2), vier Zwillinge (g=4, z=2), fünf Zwillinge (g=5, z=2), einen Zwilling und einen Drilling (g=2, z=2 bzw. z=3), zwei Zwillinge und einen Drilling (g=3, z=2 bzw. z=3) oder drei Zwillinge und einen Drilling (g=4, z=2 bzw. z=3) zu erzielen?

Das entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass von 23 Kindern keines, genau 2, 3, 4, 5, 2 mal 2, 3 mal 2, 4 mal 2, 5 mal 2, 2 und 3, 2 mal 2 und 3 oder 3 mal 2 und 3 am gleichen Tag Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeiten betragen:

P = (k! / z!g) · (n–gk–g·z) · (ng) / nk

Nur Einlinge:
P = (23! / z!0) · (365–023–0) · (3650) / 36523 = 0,492703 = 49,2703%

Genau ein Zwilling:
P = (23! / 2!1) · (365–123–2) · (3651) / 36523 = 0,363422 = 36,3422%

Genau ein Drilling:
P = (23! / 3!1) · (365–123–3) · (3651) / 36523 = 0,007395 = 0,7395%

Genau ein Vierling:
P = (23! / 4!1) · (365–123–4) · (3651) / 36523 = 0,000107 = 0,0107%

Genau ein Fünfling:
P = (23! / 5!1) · (365–123–5) · (3651) / 36523 = 0,000001 = 0,0001%

Genau zwei Zwillinge:
P = (23! / 2!2) · (365–223–4) · (3652) / 36523 = 0,110928 = 11,0928%

Genau drei Zwillinge:
P = (23! / 2!3) · (365–323–6) · (3653) / 36523 = 0,018327 = 1,8327%

Genau vier Zwillinge:
P = (23! / 2!4) · (365–423–8) · (3654) / 36523 = 0,001801 = 0,1801%

Genau fünf Zwillinge:
P = (23! / 2!5) · (365–523–10)· (3655) / 36523 = 0,000109 = 0,0109%

Genau ein Zwilling und ein Drilling (Die obige Formel ist hier entsprechend erweitert worden.):
P = (2! / (1! · 1!)) · (23! / (2! · 3!)) · (365–223–(2+3)) · (3652) / 36523 = 0,004073 = 0,4073%

Genau zwei Zwillinge und ein Drilling (Die obige Formel ist hier entsprechend erweitert worden.):
P = (3! / (2! · 1!)) · (23! / (2!2 · 3!)) · (365–323–(2+2+3)) · (3653) / 36523 = 0,000900 = 0,0900%

Genau drei Zwillinge und ein Drilling (Die obige Formel ist hier entsprechend erweitert worden.):
P = (4! / (3! · 1!)) · (23! / (2!3 · 3!)) · (365–423–(2+2+2+3)) · (3654) / 36523 = 0,000104 = 0,0104%



Beispiel 14 (Kniffel, Full House, Dreierpasch, Viererpasch)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=5 Würfen eines Würfels (n=6) nur Einlinge (g=0), einen Zwilling (g=1, z=2), einen Drilling (g=1, z=3), einen Vierling (g=1, z=4), einen Kniffel (g=1, z=5), zwei Zwillinge (g=2, z=2) oder einen Zwilling und einen Drilling (g=2, z=2 bzw. z=3) zu erzielen? Die Wahrscheinlichkeiten betragen:

P = (k! / z!g) · (n–gk–g·z) · (ng) / nk

Nur Einlinge (alle Augenzahlen verschieden):
P = (5! / z!0) · (6–05–0) · (60) / 65 = 720/7776 = 0,092593 = 9,2593%

Genau ein Zwilling (genau zwei gleiche Augenzahlen):
P = (5! / 2!1) · (6–15–2) · (61) / 65 = 3600/7776 = 0,462963 = 46,2963%

Genau ein Drilling (genau drei gleiche Augenzahlen: entspricht Dreierpasch ohne Full House, Vierling und Kniffel):
P = (5! / 3!1) · (6–15–3) · (61) / 65 = 1200/7776 = 0,154321 = 15,4321%

Genau ein Vierling (genau vier gleiche Augenzahlen: entspricht Viererpasch ohne Kniffel):
P = (5! / 4!1) · (6–15–4) · (61) / 65 = 150/7776 = 0,019290 = 1,9290%

Einen Kniffel (fünf gleiche Augenzahlen):
P = (5! / 5!1) · (6–15–5) · (61) / 65 = 6/7776 = 0,000772 = 0,0772%

Genau zwei Zwillinge (zwei gleiche Augenzahlen und zusätzlich zwei andere gleiche Augenzahlen)
P = (5! / 2!2) · (6–25–4) · (62) / 65 = 1800/7776 = 0,231481 = 23,1481%

Ein Drilling und ein Zwilling (drei gleiche Augenzahlen und zusätzlich zwei andere gleiche Augenzahlen: Full House) (Die obige Formel ist hier entsprechend erweitert worden.):
P = (2! / (1! · 1!)) · (5! / (3! · 2!)) · (6–25–(3+2)) · (62) / 65 = 300/7776 = 0,038580 = 3,8580% (Zählt man einen Kniffel auch als Full House, erhält man P = 306/7776.)

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beim Kniffel mit 3 Würfen findet man auf der Kniffel-Seite.



Beispiel 15 (Kleine und große Straße beim Kniffel)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=5 Würfen eines Würfels mit n=6 (durch die Augenzahlen von 1 bis n) unterscheidbaren Flächen genau k bzw. k–1 Augenzahlen zu bekommen, die eine Folge bilden?

Die Wahrscheinlichkeit für eine Folge von k=5 Augenzahlen (große Straße beim Kniffel) beträgt:

Pn,k = (n – k + 1) · k! / nk
P6,5 = (6 – 5 + 1) · 5! / 65 = 240 / 7776 = 0,030864 = 3,0864%

Die Wahrscheinlichkeit für eine Folge von k–1=4 Augenzahlen ("reine" kleine Straße beim Kniffel) beträgt:

Qn,k = (2 · ((k – 1)/2! + (n – k)) + (n – k) · ((k – 1)/2! + (n – k – 1)))· k! / nk
Qn,k = ((n – k) · (n – k + 1) + (k – 1) · (n – k + 2)/2) · k! / nk
Q6,5 = (1 · 2 + 4 · 3 / 2) · 5! / 65 = 960 / 7776 = 0,123457 = 12,3457%

Die Wahrscheinlichkeit für eine Folge von k=5 oder k–1=4 Augenzahlen (kleine Straße beim Kniffel) beträgt:

R6,5 = P6,5 + Q6,5 = 1200 / 7776 = 0,154321 = 15,4321%

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beim Kniffel mit 3 Würfen findet man auf der Kniffel-Seite.



Beispiel 16 (Fünf Sechsen beim Kniffel)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=3 Würfen mit m=5 Würfeln fünf „Sechsen“ zu erzielen, wenn man die schon erzielten "Sechsen" behalten darf? Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

Pm,k = (1 – (5/6)k)m
P5,3 = (1 – (5/6)3)5 = 0,01327206 = 1,327206%

Das ist also die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser-Kniffel und auch gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, im Kniffel-Spiel mit der oben erwähnten Strategie 30 Punkte beim Sechser, beim Dreierpasch, beim Viererpasch oder bei der Chance zu erzielen. Diese Wahrscheinlichkeit gilt allerdings nicht für die beim Dreierpasch, beim Viererpasch oder bei der Chance normalerweise übliche Strategie, möglichst viele Punkte zu erreichen. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind geringer. Für die Chance findet man diese Wahrscheinlichkeit auf der Kniffel-Strategie-Seite. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für einen Kniffel mit 3 Würfen findet man auf der Kniffel-Seite

Für die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf einen Sechser-Kniffel zu erzielen, gilt die einfache Formel: P5,1 = (1 – (5/6)1)5 = (1 – 5/6)5 = (1/6)5 = 1/7776 = 0,012860%

Für die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf mindestens eine Sechs zu würfeln, gilt schließlich: P = 1 – (5/6)5 = 1 – 3125/7776 = 4651/7776 = 59,812243%



Beispiel 17 (Radioaktiver Zerfall)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Messzeit bei zu Beginn n unzerfallenen Atomen genau m Treffer (zerfallene Atome) erzielt werden, wobei ein bestimmtes Atom während der Messzeit mit der Wahrscheinlichkeit p zerfällt? Das entspricht der Wahrscheinlichkeit, mit n Würfen m Treffer zu erzielen, wobei die Wahrscheinlichkeit pro Wurf für einen Treffer p beträgt. Für die Wahrscheinlichkeit gilt:

Pn,m,p = ((n·p)m / m!) · e–n·p (Poisson-Verteilung)

Damit die Formel gilt, muss p sehr klein sein. Hat man nun so viele unzerfallene Atome n, dass n·p = 1 ist, dass also während der Messzeit im Mittel ein Atom zerfällt, lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass während der Messzeit kein, genau ein, genau zwei usw. Atome zerfallen:

Pm = (1 / m!) · e–1 = 1 / (m! · e)

P0 = 0,367879 = 36,7879%
P1 = 0,367879 = 36,7879%
P2 = 0,183940 = 18,3940%
P3 = 0,061313 = 6,1313%
P4 = 0,015328 = 1,5328%
P5 = 0,003066 = 0,3066%
P6 = 0,000511 = 0,0511%
P7 = 0,000073 = 0,0073%

Die gleiche Rechnung ergibt sich, wenn man wissen will, mit welcher Wahrscheinlichkeit man pro Tag keinen, genau einen, genau zwei Briefe usw. bekommt, wenn im Mittel pro Tag ein Brief eintrifft und die Briefe keine Beziehung zueinander haben. Die Wahrscheinlichkeit, genau einen Brief zu bekommen, ist also genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit, keinen zu bekommen. Sie beträgt 36,7879%.



Beispiel 18 (Briefe und Briefumschläge)

Wie viele Möglichkeiten gibt es, n=7 Briefe so in n=7 Briefumschläge zu stecken, dass sich in keinem Umschlag der zugehörige Brief befindet? Die Anzahl der Möglichkeiten (fixpunktfreien Permutationen) Nn beträgt:

Nn = !n = n! · (1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + ... 1/n!) (!n = Subfakultät von n)
N7 = !7 = 1854

Die Anzahl der Möglichkeiten, n=7 Briefe so in n=7 Briefumschläge zu stecken, dass sich in k Umschlägen der zugehörige Brief befindet, beträgt:

Nn,k = (nk) · !(n – k)

N7,0 = (70) · !7 = 1 · 1854 = 1854
N7,1 = (71) · !6 = 7 · 265 = 1855
N7,2 = (72) · !5 = 21 · 44 = 924
N7,3 = (73) · !4 = 35 · 9 = 315
N7,4 = (74) · !3 = 35 · 2 = 70
N7,5 = (75) · !2 = 21 · 1 = 21
N7,6 = (76) · !1 = 7 · 0 = 0
N7,7 = (77) · !0 = 1 · 1 = 1

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, n=7 Briefe in n=7 Briefumschläge zu stecken, beträgt n! = 7! = 5040. (Permutationen ohne Wiederholung)

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in genau 4 von 7 Briefumschlägen der zugehörige Brief befindet, beträgt also 70/5040 oder 1/72.

Schon für kleine n gilt in guter Näherung: !n = n! · 1/e



Beispiel 19 (Sockenpaare und einzelne Socken)

Von n=10 Paar (m=2) Socken, die alle verschieden sind, gehen k=6 Socken verloren. Das entspricht der Ziehung von k=6 Kugeln bei n=10 Paar paarweise gleicher Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle k=6 Socken verschieden (r=1) sind, also von verschiedenen Paaren stammen? Für die Wahrscheinlichkeit gilt:

Pn,k = (mr)k · (nk/r) / (m·nk)
P10,6 = (21)6 · (106) / (206) = 26 · 210 / 38.760 = 20/20 · 18/19 · 16/18 · 14/17 · 12/16 · 10/15 = 112/323 = 0,34675 = 34,675%

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle k=6 Socken zu k/2=3 Paaren (r=2) gehören, dass also noch 7 vollständige Sockenpaare übrig sind, beträgt:

Pn,k = (mr)k · (nk/r) / (m·nk)
P10,6 = (22)6 · (103) / (206) = 120 / 38.760 = 15 · (20/20 · 1/19 · 18/18 · 1/17 · 16/16 · 1/15) = 1 / 323 = 0,00310 = 0,310%

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle verlorenen 6 einzelnen Socken von verschiedenen Paaren stammen, so dass nur noch 4 vollständige Paare übrig sind, ist also mehr als 100mal so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Verlieren der 6 einzelnen Socken noch 7 vollständige Paare übrig bleiben.



Beispiel 20 ("Überraschungen" und Überraschungseier)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei k=20 Ziehungen von n=8 verschiedenen Kugeln (k >= n) jede Kugel mindestens einmal gezogen wird, wenn die jeweils gezogenen Kugeln wieder zurückgelegt werden?

Das entspricht der Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von k=20 Überraschungseiern bei insgesamt n=8 verschiedenen gleich häufigen "Überraschungen" mindestens von jeder eine bekommen zu haben. Für die Wahrscheinlichkeit gilt:

Pn,k = Σi=0n (-1)i · (ni) · ( 1- i/n)k
P8,20 = 0,53056 = 53,056%

Das ist auch die kleinste Zahl von Überraschungseiern, die man kaufen muss, damit diese Wahrscheinlichkeit über 50% liegt.
Man muss übrigens mit einem Würfel (n=6) mindestens 13mal würfeln, um mit mehr als 50% Wahrscheinlichkeit jede Augenzahl mindestens einmal gewürfelt zu haben. Hier gilt:

P6,13 = 0,51386 = 51,386%

Wie groß ist die mittlere Zahl von Ziehungen (mit Zurücklegen), bei der von n verschiedenen Kugeln jede Kugel mindestens einmal gezogen wurde? Das entspricht der mittleren Zahl von Überraschungseiern, bei der von n verschiedenen "Überraschungen" jede "Überraschung" mindestens einmal vorgekommen ist. Für diese mittlere Zahl von Ziehungen gilt:

Zn = Σk=n k · (Pn,k – Pn,k–1)

Einige Beispiele:

Z2 = 3
Z3 = 5 + 1/2 = 5,500
Z4 = 8 + 1/3 = 8,333
Z5 = 11 + 5/12 = 11,417
Z6 = 14 + 7/10 = 14,700 (= mittlere Zahl von Würfen, bei der jede Augenzahl mindestens einmal gewürfelt wurde)
Z7 = 18 + 3/20 = 18,150
Z8 = 21 + 26/35 = 21,743
Z9 = 25 + 129/280 = 25,461
Z10 = 29 + 73/252 = 29,290
Z11 = 33 + 551/2520 = 33,219
Z12 = 37 + 551/2310 = 37,239



Beispiel 21 (Aufeinanderfolgende Zahlen bei Lotto 6 aus 49)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto 6 aus 49 mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen werden?

Die Wahrscheinlichkeit, dass keine aufeinanderfolgenden Zahlen gezogen werden, ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten (Kombinationen ohne Wiederholung), in die Lücken zwischen den 43 nicht gezogenen Zahlen (insgesamt gibt es 44 Lücken einschließlich Anfang und Ende) jeweils höchstens eine gezogene Zahl zu platzieren, geteilt durch die Anzahl der Möglichkeiten für 6 Richtige. Für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen werden, gilt dann:

P = 1 – (446) / (496) = 1 – (44! / (6!·38!)) / (49! / (6!·43!)) = 1 – 7.059.052 / 13.983.816 = 1 – 22.919 / 45.402

P = 1 – 0,504802 = 0,495198 = 49,5198%

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 49,5198% gibt es also bei einer Ziehung mindestens zwei aufeinanderfolgende Lottozahlen.

Für eine bestimmte Anzahl aufeinanderfolgender Lottozahlen muss man für die 44 Lücken die Permutationen mit Wiederholung bestimmen.
Es gelten die folgenden Wahrscheinlichkeiten P:

6 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (43!·1!)) / (49 6) = 44 / 13.983.816 = 1 : 317.814 = 0,0003%
5 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (42!·1!·1!)) / (49 6) = 1892 / 13.983.816 = 1 : 7391,02 = 0,0135%
4 und 2 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (42!·1!·1!)) / (49 6) = 1892 / 13.983.816 = 1 : 7391,02 = 0,0135%
Genau 4 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (41!·2!·1!)) / (49 6) = 39.732 / 13.983.816 = 1 : 351,9535 = 0,2841%
Zweimal 3 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (42!·2!)) / (49 6) = 946 / 13.983.816 = 1 : 14.782,04 = 0,0068%
3 und 2 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (41!·1!·1!·1!)) / (49 6) = 79.464 / 13.983.816 = 1 : 175,9767 = 0,5683%
Genau 3 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (40!·3!·1!)) / (49 6) = 543.004 / 13.983.816 = 1 : 25,7527 = 3,8831%
Dreimal 2 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (41!·3!)) / (49 6) = 13.244 / 1.3983.816 = 1 : 1055,86 = 0,0947%
Zweimal 2 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (40!·2!·2!)) / (49 6) = 814.506 / 13.983.816 = 1 : 17,1685 = 5,8246%
Genau 2 aufeinanderfolgende Lottozahlen: P = (44! / (39!·4!·1!)) / (49 6) = 5.430.040 / 13.983.816 = 1 : 2,5753 = 38,8309%
Keine aufeinanderfolgenden Lottozahlen: P = (44! / (38!·6!)) / (49 6) = 7.059.052 / 13.983.816 = 1 : 1,9810 = 50,4802%

Auch die Wahrscheinlichkeit P, dass bei einer Ziehung der kleinste Abstand zwischen den Lottozahlen genau k beträgt, kann berechnet werden. Dabei bedeutet k=1, dass mindestens zwei aufeinanderfolgende Lottozahlen gezogen werden. Es gilt:

k=1: P = ((49 6) – (44 6)) / (49 6) = 6.924.764 / 13.983.816 = 1 : 2,0194 = 49,5198%
k=2: P = ((44 6) – (39 6)) / (49 6) = 3.796.429 / 13.983.816 = 1 : 3,6834 = 27,1487%
k=3: P = ((39 6) – (34 6)) / (49 6) = 1.917.719 / 13.983.816 = 1 : 7,2919 = 13,7139%
k=4: P = ((34 6) – (29 6)) / (49 6) = 869.884 / 13.983.816 = 1 : 16,0755 = 6,2207%
k=5: P = ((29 6) – (24 6)) / (49 6) = 340.424 / 13.983.816 = 1 : 41,0776 = 2,4344%
k=6: P = ((24 6) – (19 6)) / (49 6) = 107.464 / 13.983.816 = 1 : 130,1256 = 0,7685%
k=7: P = ((19 6) – (14 6)) / (49 6) = 24.129 / 13.983.816 = 1 : 579,545 = 0,1725%
k=8: P = ((14 6) – (9 6)) / (49 6) = 2919 / 13.983.816 = 1 : 4790,62 = 0,0209%
k=9: P = (9 6) / (49 6) = 84 / 13.983.816 = 1 : 166.474 = 0,0006%

Weitere Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten beim Lotto findet man auf der Lotto-Seite.



Beispiel 22 (Lotto 6 aus 49 - mindestens eine gleiche Zahl bei zwei verschiedenen Ziehungen)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Ziehungen von Lotto 6 aus 49 mindestens eine Zahl gleich ist?

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Zahl der zweiten Ziehung mit keiner der 6 Zahlen der ersten Ziehung übereinstimmt, beträgt 43/49.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Zahlen der zweiten Ziehung mit keiner der 6 Zahlen der ersten Ziehung übereinstimmen,
beträgt (43/49) · (42/48).

Die Wahrscheinlichkeit, dass keine der 6 Zahlen der zweiten Ziehung mit einer der 6 Zahlen der ersten Ziehung übereinstimmt,
beträgt deshalb (43/49) · (42/48) · (41/47) · (40/46) · (39/45) · (38/44) = 0,435965 = 43,5965%.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine gleiche Zahl bei zwei Ziehungen von Lotto 6 aus 49 ist also gleich 1 – 43,5965% = 56,4035%.

Weitere Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten beim Lotto findet man auf der Lotto-Seite.



Beispiel 23 (Kleinster Abstand zwischen Geburtstagen)

Wie groß ist im Mittel der kleinste Abstand zweier aufeinanderfolgender Geburtstage von 23 Schülern in einer Klasse? Wie groß sind im Mittel die anderen Abstände?

Wenn die Anzahl der Schüler n = 23 beträgt und wenn man die Länge eines Jahres mit d = 365 Tagen annimmt, dann lässt sich die mittlere Länge g eines Abstandes durch die folgende Formel ausdrücken, wobei k = 1 den kleinsten Abstand und k = n den größten Abstand darstellt:

gn,d = d / n · ( Σi=1n (1/i) - Σi=1n-k (1/i) )

Für die mittlere Länge g der verschiedenen Abstände k ergibt sich dann:

  k   g (in Tagen)

  1     0,69
  2     1,41
  3     2,17
  4     2,96
  5     3,80
  6     4,68
  7     5,61
  8     6,60
  9     7,66
10     8,79
11   10,01
12   11,34
13   12,78
14   14,37
15   16,13
16   18,11
17   20,38
18   23,03
19   26,20
20   30,17
21   35,46
22   43,39
23   59,26

Im Mittel beträgt also der kleinste Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Geburtstagen bei 23 Schülern nur 0,69 Tage oder etwas weniger als 17 Stunden. Der größte Abstand ist im Mittel dagegen 59,26 Tage und somit knapp 2 Monate lang.



Beispiel 24 (Summe der Augenzahlen beim Würfeln, Chance beim Kniffel)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf mit m=5 Würfeln eine bestimmte Summe der Augenzahlen zu erzielen? Für die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit gibt es keine einfache Formel. Für eine bestimmte Summe n ergibt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit Pn mit Hilfe eines kleinen Programms die folgenden Werte:

P5 = P30 = 1 / 7776 = 0,0129%
P6 = P29 = 5 / 7776 = 0,0643%
P7 = P28 = 15 / 7776 = 0,1929%
P8 = P27 = 35 / 7776 = 0,4501%
P9 = P26 = 70 / 7776 = 0,9002%
P10 = P25 = 126 / 7776 = 1,6204%
P11 = P24 = 205 / 7776 = 2,6363%
P12 = P23 = 305 / 7776 = 3,9223%
P13 = P22 = 420 / 7776 = 5,4012%
P14 = P21 = 540 / 7776 = 6,9444%
P15 = P20 = 651 / 7776 = 8,3719%
P16 = P19 = 735 / 7776 = 9,4522%
P17 = P18 = 780 / 7776 = 10,0309%

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beim Kniffel für eine Chance mit 3 Würfen findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite.



Beispiel 25 (Anzahl unterschiedlich aussehender Perlenketten)

Wie viele Möglichkeiten Nn gibt es, mit n = 7 Perlen unterschiedlicher Farbe unterschiedlich aussehende offene bzw. ringförmige Ketten herzustellen?

Offene Ketten:
Nn = n! / 2 (für n > 1; N1 = 1)
N7 = 7! / 2 = 5040 / 2 = 2520

Ringförmige Ketten:
Nn = (n–1)! / 2 (für n > 2; N1 = 1; N2 = 1)
N7 = (7–1)! / 2 = 6! / 2 = 720 / 2 = 360



Beispiel 26 (Anzahl unterschiedlicher Gruppen aus Paaren)

Wie viele Möglichkeiten Nn gibt es, mit n = 12 Personen unterschiedliche Gruppen aus 6 Paaren zusammenzustellen?

Nn = (n2) · (n-22) · (n-42) · ... · (n2) / (n/2)!
N12 = (122) · (102) · (82) · ... · (22) / 6! = 66 · 45 · 28 · 15 · 6 · ... · 1 / 720 = 10.395
oder
Nn = 1 · 3 · 5 · ... · (n-1)
N12 = 1 · 3 · 5 · ... · 11 = 10.395



Anhang

Binomialverteilung: (gilt nur für Ziehung mit Zurücklegen)

Pn,m = (nm) · pm · (1–p)n–m

n = Anzahl der Ziehungen
m = Anzahl der erfolgreichen Ziehungen
k = Anzahl der Kugeln
r = Anzahl der "richtigen" Kugeln
p = r/k = Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Ziehung

Ableitung aus hypergeometrischer Verteilung (m << r; r << k; n << k):
Pn,m = (rm) · (k–rn–m) / (kn)
= r! · (k–r)! · n! · (k–n)! / (m!·(r–m)!·(n–m)!·((k–r)–(n–m))!·k!)
= (nm) · rm · (k–r)n–m · k–n (Näherung für m << r; r << k; n << k)
= (nm) · (r/(k–r))m · ((k–r)/k)n
= (nm) · ((r/k)/(1–r/k))m · (1–r/k)n
= (nm) · pm · (1–p)n / (1–p)m
= (nm) · pm · (1–p)n–m

Poissonverteilung:

Pn,m = ((n·p)m / m!) · e–n·p

Ableitung aus Binomialverteilung (m << n; p << 1):
Pn,m = (nm) · pm · (1–p)n–m
= (n!/(m!·(n–m)!)) · (pm / (1–p)m) · (1–p)n
= (nm/m!) · (p/(1–p))m · 1/(1+p)n (Näherung für m << n)
= (nm/m!) · (p/(1–p))m · 1/((1+1/(1/p))(1/p))n·p
= (nm/m!) · pm · 1/en·p (Näherung für p << 1)
= ((n·p)m / m!) · e–n·p

Gaußverteilung (m groß, n groß):

Pn,m = (1/(σ·√(2·π)) · e–x·x/2 ; x = (m–n·p) / σ
σ = √(n·p·(1–p))
σ = √(n·(1–p)) (Näherung für p ungefähr gleich 1)
σ = √(n·p) (Näherung für p << 1)

Stirlingsche Formel (gilt schon für kleine n in guter Näherung):

n! = (n/e)n · √(2·π·n)

Geordneter Zufall und harmonische Reihe

Wenn man im Intervall von 0 bis 1 insgesamt n-1 Zufallszahlen erzeugt, so entstehen in diesem Intervall zwischen den Zufallszahlen n Teilintervalle. Wiederholt man diesen Vorgang viele Male mit jeweils neuen Zufallszahlen und bildet die Mittelwerte der jeweiligen Intervalle zwischen 0 und der kleinsten Zufallszahl, zwischen der kleinsten und zweitkleinsten Zufallszahl usw., dann sind alle Mittelwerte gleich groß und betragen 1/n.

Ordnet man jedoch die entstehenden Teilintervalle nach ihrer Größe und bildet dann die Mittelwerte (Erwartungswerte) der jeweils kleinsten, zweitkleinsten usw. Teilintervalle, dann beträgt die mittlere Größe gn,k des k-ten Teilintervalls:

gn,k = 1/n · Σi=n+1-kn (1/i) = 1/n · ( Σi=1n (1/i) - Σi=1n-k (1/i) )

Man kann die mittlere Länge der Intervalle also als die durch n dividierte Differenz zweier harmonischer Reihen ausdrücken. Die folgende Zusammenstellung zeigt die Ergebnisse für eins bis sechs Intervalle:

Ein Intervall: g1,1 = 1
Zwei Intervalle: g2,1 = 1/4; g2,2 = 3/4
Drei Intervalle: g3,1 = 1/9; g3,2 = 5/18; g3,3 = 11/18
Vier Intervalle: g4,1 = 1/16; g4,2 = 7/48; g4,3 = 13/48; g4,4 = 25/48
Fünf Intervalle: g5,1 = 1/25; g5,2 = 9/100; g5,3 = 47/300; g5,4 = 77/300; g5,5 = 137/300
Sechs Intervalle: g6,1 = 1/36; g6,2 = 11/180; g6,3 = 37/360; g6,4 = 57/360; g6,5 = 87/360; g6,6 = 147/360

Für große n gilt in guter Näherung: Σi=1n (1/i) = ln(n) + Eulersche Konstante
Daraus folgt: gn,k = 1/n · (ln(n) - ln(n-k)) = 1/n · (ln(n) - ln(n · (1-k/n))) = 1/n · (ln(n) - ln(n) - ln(1-k/n)) = -1/n · ln(1-k/n)

Normiert man diese bis n laufende Funktion auf den Bereich von 0 bis 1 und setzt x = k/n, so ergibt sich die Funktion f(x) = -ln(1-x).
Durch die Normierung wird aus der Summe der Länge aller Intervalle die Fläche unter der Funktion f(x) mit dem Flächeninhalt 1.
Das Intervall mit der mittleren Länge 1/n liegt bei der Funktion an der Stelle, wo f(x) = 1 ist.
Also gilt: -ln(1-x) = 1; ln(1-x) = -1; eln(1-x) = e-1; 1-x = 1/e.
Es sind also 1/e = 36,787944% aller Intervalle größer als das mittlere Intervall der Länge 1/n.

Für das Integral der Funktion f(x) gilt: Integral(-ln(1-x))dx = x + (1-x) · ln(1-x) + C.
Die Summe der Längen aller Intervalle oberhalb des Intervalls mit der mittleren Länge ist demnach:
[x + (1-x) · ln(1-x)]1-1/e1 = 1 - (1-1/e) - 1/e · ln(1/e) = 1/e + 1/e = 2/e.
Die Intervalle, die größer sind als das Intervall der mittleren Länge 1/n, haben also zusammen 2/e = 73,575888% der Gesamtlänge 1.

Die Summe der Länge aller Intervalle ist für die größere Hälfte aller Intervalle entsprechend:
[x + (1-x)·ln(1-x)]1/21 = 1 - 1/2 - 1/2 · ln(1/2) = 1/2 + 1/2 · ln(2).
Die Intervalle, die zur größeren Hälfte gehören, haben also zusammen 1/2 + 1/2 · ln(2) = 84,657359% der Gesamtlänge 1.

Das Intervall, unterhalb dessen die Summe der Längen aller Intervalle 1/2 beträgt, liegt an der Stelle x,
die die Lösung der Gleichung x + (1-x) · ln(1-x) = 1/2 darstellt.
Die Lösung lässt sich nur numerisch berechnen und beträgt 0,81331769.
Es haben damit 18,668231% der größten Intervalle zusammen die Gesamtlänge 1/2.


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