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Räuber, Beute und Stammbrüche

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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3. Drei Räuber wollen ihre Beute aufteilen. Der zweite Räuber soll weniger als der erste und der dritte weniger als der zweite bekommen. Ihre Anteile sollen aber Stammbrüche der gesamten Beute sein, also 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, usw. . Wie viel bekommt jeder?

Wenn alle Räuber gleich viel bekämen, betrüge jeder Anteil 1/3. Da aber der erste Räuber mehr als die anderen bekommen soll, muss sein Anteil an der Beute entweder 1/1 oder 1/2 betragen. Alles kann der erste Räuber aber nicht bekommen, weil dann für die anderen nichts mehr übrig bliebe. Also ist sein Anteil 1/2. Würden die beiden anderen Räuber von der restlichen Hälfte jeweils die Hälfte bekommen, betrüge ihr Anteil 1/4. Da der zweite aber mehr als der dritte und weniger als der erste bekommen soll, kommt für ihn nur 1/3 in Frage. Für den dritten Räuber bleibt dann nur 1/6, was tatsächlich auch ein Stammbruch ist. Die Anteile und damit die Stammbrüche lauten also:

1/2, 1/3 und 1/6

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass es entweder keine oder mehrere Lösungen gebe. Warum sollte es auch genau eine Lösung geben? Die folgenden Überlegungen zeigen, dass diese Intuition nicht ganz falsch ist, auch wenn sie uns bei drei Räubern auf die falsche Fährte lockt.


Wie sieht die Aufteilung der Beute bei einer anderen Anzahl von Räubern aus?

Wenn es sich nur um einen Räuber handelt, bekommt dieser natürlich 1/1 und damit alles.

Bei zwei Räubern wäre der Anteil für jeden Räuber 1/2, wenn beide gleich viel bekämen. Da der erste Räuber aber mehr bekommen soll, müsste er 1/1 bekommen. Der zweite Räuber bekäme dann aber nichts, was den Regeln widerspricht. Für zwei Räuber gibt es also keine Lösung!

Wollten vier Räuber die Beute nach den gleichen Regeln unter sich aufteilen, hätten sie die Auswahl unter insgesamt sechs Kombinationen von jeweils vier Stammbrüchen:

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1
1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1
1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1
1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1

Mit steigender Anzahl der Räuber vermehrt sich die Anzahl der Lösungen rasch. Fünf Räuber könnten schon auf 72 Arten jeweils fünf verschiedene Stammbrüche so kombinieren, dass ihre Summe eins ergäbe. Hier ist eine kleine Auswahl:

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 = 1
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/78 + 1/91 = 1
1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/15 + 1/35 = 1
1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/12 + 1/15 = 1
1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20 = 1


Referenz: Mathematik-Olympiade, Aufgabe 360842


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