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Reisezeiten mit einer globalen Magnetschwebebahn

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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Eine oberirdische Magnetschwebebahn erreicht etwa eine Geschwindigkeit von 500 km/h. Wegen der Luftreibung stößt eine deutliche Erhöhung dieser Geschwindigkeit schnell an Grenzen. Wesentlich höhere Geschwindigkeiten ließen sich mit einer Magnetschwebebahn nur in einem Tunnel erreichen, in dem Vakuum herrscht. So eine Vakuum-Magnetschwebebahn wäre dann keiner Luftreibung mehr ausgesetzt. Eine einmal erreichte Geschwindigkeit könnte dann antriebslos beibehalten werden. Wenn alle technischen und sicherheitsrelevanten Probleme gelöst werden könnten, ließen sich mit einer Magnetschwebebahn im Vakuum Reisezeiten erreichen, die alles deutlich unterbieten würden, was heute möglich ist. Es bliebe dann nur die Frage, welche Beschleunigung einem normalen Passagier zusätzlich zur Erdbeschleunigung g ( 9,81 m/sec2 ) zugemutet werden könnte. Bei den folgenden Überlegungen wird angenommen, dass sich die Gesamtbeschleunigung und damit das Gewicht der Reisenden nur um 10% erhöhen.

Ein Passagier spürt dann also eine Gesamtbeschleunigung von b0 = 1,1 g. Sie bestimmt letztendlich die Reisezeit der Magnetschwebebahn. Diese Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus der eben erwähnten Erdbeschleunigung und der dazu senkrecht stehenden Beschleunigung b1, die die Geschwindigkeit der Magnetschwebebahn erhöht oder später wieder verringert. Nach Pythagoras gilt dann die Gleichung: b02 = g2 + b12. Bei der Abfahrt beschleunigt die Magnetschwebebahn deshalb schon mit dem beachtlichen Wert von

b1 = √(b02 – g2) = √((1,1g)2 – (1g)2) = 0,458 g

Die rasch steigende Geschwindigkeit führt wegen der gekrümmten Erdoberfläche zu einer nach oben wirkenden Fliehkraft (Zentrifugalkraft), die der Schwerkraft entgegengesetzt ist. Das führt dazu, dass bei gleichbleibender Gesamtbeschleunigung für die Passagiere die Magnetschwebebahn immer stärker beschleunigen kann. In dem Augenblick, in dem Fliehkraft und Schwerkraft gleich groß werden, würde die Magnetschwebebahn bei ausgeschaltetem Antrieb schwerelos durch den Tunnel gleiten. Das ist nach etwa 18,52 Minuten und 3640 km bei einer Geschwindigkeit von 28.470 km/h der Fall. Der Antrieb kann deshalb die Magnetschwebebahn jetzt mit dem maximalen Wert von

b2 = 1,100 g

beschleunigen, ohne die Passagiere zu überlasten. Die rasant weiter steigende Geschwindigkeit führt zu einer weiteren Erhöhung der Fliehkraft, die die Passagiere nach oben drückt. Die höchstmögliche Geschwindigkeit ist erreicht, wenn die Fliehkraft 2,1 mal so groß wie die Schwerkraft ist und die Passagiere mit 1,1 g nach oben gedrückt werden. Es sind jetzt 26,74 Minuten vergangen und 8635 km zurückgelegt. Die Geschwindigkeit von nun 41.243 km/h darf nicht weiter steigen und die Beschleunigung beträgt somit

b3 = 0,000 g.

Nach der Beschleunigungsphase muss die Magnetschwebebahn wieder auf die gleiche Weise abgebremst werden. Ist das Reiseziel mehr als zweimal 8635 km entfernt, liegt zwischen der Beschleunigung und Abbremsung von jeweils 8635 km eine Strecke, auf der die Magnetschwebebahn mit konstanter maximaler Geschwindigkeit von 41.243 km/h fährt.

Damit die aus Antriebsbeschleunigung, Schwerkraft und Fliehkraft sich ergebende Gesamtkraft nicht als unangenehm empfunden wird, muss es in der Magnetschwebebahn Sitze geben, die sich entsprechend der Richtung der Gesamtkraft so drehen, das die Passagiere immer auf die gleiche Weise optimal in den Sitz gedrückt werden. Bei maximaler Geschwindigkeit reisen die Passagiere in ihren Sitzen quasi „auf dem Kopf“.

In der folgenden Tabelle stehen Reisezeiten und maximale Geschwindigkeiten für verschiedene Reiseentfernungen, wobei ein mittlerer Erdradius von r = 6371 km angenommen wird und die Magnetschwebebahn sich nur auf Großkreisen um die Erde bewegt, um Kurven und die damit verbundenen Querkräfte zu vermeiden.


Entfernung Reisezeitmaximale
Geschwindigkeit
 
    100 km  4,96 min  2434 km/h
    200 km  6,99 min  3471 km/h
    500 km10,96 min  5621 km/h
  1000 km15,31 min  8245 km/h
  2000 km21,16 min12418 km/h
  5000 km31,68 min22343 km/h
10000 km42,25 min34354 km/h
20000 km57,46 min41243 km/h


Die letzte Tabelle enthält eine Reihe von konkreten Reisezielen mit den zugehörigen Reisezeiten und maximalen Geschwindigkeiten, wobei Hamburg beispielhaft als Ausgangspunkt der Reise angenommen wurde.


Reise von EntfernungReisezeit maximale
Hamburg nachGeschwindigkeit
 
Berlin    260 km  7,96 min  3977 km/h
Paris    750 km13,34 min  7014 km/h
Rom  1310 km17,39 min  9636 km/h
Athen  2030 km21,30 min12532 km/h
Kairo  3130 km25,87 min16459 km/h
Novosibirsk  4510 km30,32 min20880 km/h
New York  6120 km34,49 min25496 km/h
Bombay  6530 km35,43 min26585 km/h
Shanghai  8520 km39,55 min31364 km/h
Bangkok  8820 km40,12 min32010 km/h
San Francisco  8880 km40,23 min32137 km/h
Tokio  8970 km40,40 min32326 km/h
Mexiko City  9490 km41,35 min33380 km/h
Kapstadt  9770 km41,85 min33922 km/h
Rio de Janeiro  9910 km42,10 min34187 km/h
Singapur10130 km42,48 min34593 km/h
Santiago12370 km46,17 min38072 km/h
Sydney16260 km52,04 min41108 km/h
Wellington18240 km54,90 min41243 km/h
Antipode zu Hamburg20015 km57,48 min41243 km/h


Diese Reisezeiten stellen alles in den Schatten, was sich mit Flugzeugen erreichen ließe. Selbst Raumgleiter könnten da nicht mithalten, da ihre maximale Geschwindigkeit in einer erdnahen Umlaufbahn auf etwa 28.000 km/h begrenzt ist.



Zum Schluss kommen noch einige Informationen zum mathematischen Hintergrund. Wie schon erwähnt, soll der Betrag der Gesamtbeschleunigung b0 immer 1,1 g betragen. Er errechnet sich aus der Schwerebeschleunigung g, aus der entgegengesetzten Beschleunigung aufgrund der Fliehkraft und aus der dazu senkrecht stehenden Vortriebsbeschleunigung b:

b02 = b2 + (g – v2/r)2 , wobei b = dv/dt = v dv/dx ist.

Daraus lassen sich die beiden Differentialgleichungen

dt = dv / √(b02 – (g – v2/r)2) und

dx = v dv / √(b02 – (g – v2/r)2) ableiten.

Als Lösung der zweiten Differentialgleichung ergibt sich der Ausdruck

x = (r/2) · (arc sin(g/b0) – arc sin((g·r – v2)/(b0·r)))

oder, nach v aufgelöst:

v = √(g·r – b0·r·sin(arc sin(g/b0) – 2·x/r)).

Für verschiedene Strecken x bekommt man dann die zugehörige Endgeschwindigkeit v. Aus v lässt sich mit Hilfe der ersten Differentialgleichung die benötigte Zeit t bestimmen. Allerdings lässt sich diese Gleichung nur numerisch integrieren. Zu Bestimmung von Reisestrecke und Reisezeit müssen die entsprechenden Werte verdoppelt werden, da auf die Beschleunigungsphase spiegelbildlich die Abbremsphase folgt.

Erreicht die Zentrifugalbeschleunigung die Summe von Gesamtbeschleunigung und Schwerebeschleunigung, also 2,1 g, ist eine weitere Beschleunigung nicht mehr möglich und die Bahn fährt mit konstanter maximaler Geschwindigkeit von

vmax = √(g·r + b0·r) = 41.243 km/h.

Diese Geschwindigkeit wird nach einer Beschleunigungsstrecke von

xmax = (r/2) · (arc sin(g/b0) + (π/2)) = 8635 km erreicht.

Beträgt die Reisestrecke mehr als das Doppelte, also mehr als 17.270 km, gibt es zwischen der Beschleunigungs- und Abbremsphase eine antriebslose Phase.



Es bleibt noch anzumerken, dass bei den obigen Überlegungen von einer kugelförmigen und nicht rotierenden Erde ausgegangen wurde und die Corioliskraft deshalb nicht berücksichtigt worden ist. Sie steht senkrecht auf Antriebs-, Schwer- und Fliehkraft. Die zugehörige Coriolisbeschleunigung bc beträgt

bc = 2 · v · ω · sin(φ),

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Erde und φ der Winkel zwischen der Richtung von v und Erdachse ist. Bei v = 41 243 km/h und φ = 90° wird bc maximal und beträgt 0,170 g. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Magnetschwebebahn bei maximaler Geschwindigkeit den Nordpol oder Südpol überquert.

Ebenso wurde nicht berücksichtigt, dass auf einer Strecke entlang des Äquators die maximal erlaubte Reisegeschwindigkeit geringer ist, wenn sich die Magnetschwebebahn in Richtung der Erdrotation bewegt, weil sich die von der Erdrotation hervorgerufenen Fliehkraft zu der von der Magnetschwebebahn erzeugten addiert. Andererseits erlaubt die von der Erdrotation erzeugte Fliehkraft zu Anfang eine höhere Beschleunigung, weil sie der Gravitationskraft entgegen wirkt. Der letzte Effekt überwiegt und die Reisezeit um die halbe Erde wird durch die Erdrotation um etwas mehr als eine Minute auf 56,41 Minuten verkürzt. Bei einer Reise entgegen der Erdrotation kehren sich natürlich alle Effekte um und die Reisezeit um die halbe Erde verlängert sich auf 58,55 Minuten.


Copyright © Werner Brefeld, 1999 ... 2017 (Originalquelle)

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