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Ein Kuchen und die gerechte Aufteilung unter drei Kindern

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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27. Gibt es eine Möglichkeit, einen Kuchen so unter drei Kindern aufzuteilen, dass sich kein Kind aus gutem Grunde beschweren kann, es habe weniger als ein Drittel des Kuchens bekommen?

Wenn man die gleiche Frage für zwei Kinder stellt, kennen viele die Antwort. Bei zwei Kindern geht man so vor, dass eins der Kinder die Aufgabe bekommt, den Kuchen in zwei gleich große Stücke zu zerschneiden. Das andere Kind darf sich dann von den beiden Kuchenstücken eins aussuchen. Das erste Kind erhält dann das übriggebliebene Stück.

Das zweite Kind kann sich natürlich nicht beschweren, weil es die Chance hatte, das aus seiner Sicht größere Stück auszuwählen und damit mindestens die Hälfte des Kuchens zu bekommen. Aber auch das erste Kind kann sich nicht aus gutem Grunde beschweren. Es hatte ja die Chance, den Kuchen in genau zwei Hälften zu schneiden, so dass es auch mindestens die Hälfte bekommt.


Soll der Kuchen unter drei Kindern aufgeteilt werden, muss ein Kind den Kuchen zunächst in zwei gleich große Stücke zerschneiden. Das zweite Kind darf sich davon ein Stück aussuchen und hat die Aufgabe, dieses Stück weiter in drei gleich große Kuchenstücke zu zerschneiden. Das andere Stück verbleibt beim ersten Kind und wird in gleicher Weise in drei Teile geschnitten. Schließlich darf sich das dritte Kind sowohl von den drei Kuchenstücken des ersten als auch des zweiten Kindes jeweils eins auswählen. Damit besitzt jedes Kind zwei Stücke und der Kuchen ist aufgeteilt.

Das dritte Kind hat natürlich keinen Grund, sich zu beschweren, weil es die Chance hatte, von den jeweils drei Stücken der beiden anderen Kinder das aus seiner Sicht größte auszuwählen. Es konnte also mindestens ein Drittel der jeweiligen Kuchenmenge und damit auch mindestens ein Drittel des ganzen Kuchens erhalten.

Das zweite Kind durfte sich zunächst von den beiden Stücken dasjenige auswählen, welches es für das größere hielt. Dann hatte es die Gelegenheit, dieses Stück in drei gleich große Kuchenstücke zu zerschneiden. Dann würde jedes dieser drei Kuchenstücke mindestens einem Sechstel des ganzen Kuchens entsprechen. Egal, welches Kuchenstück das dritte Kind dann davon auswählte, blieben dem zweiten Kind mindestens ein Drittel des Kuchens.

Auch das erste Kind hatte keinen guten Grund, sich zu beschweren, da es ja zu Anfang den ganzen Kuchen in genau zwei und dann einen halben Kuchen in genau drei gleich große Kuchenstücke zerschneiden konnte. Es hatte also die Chance, so zu schneiden, dass diese drei Kuchenstücke jeweils genau ein Sechstel des ganzen Kuchens ausmachten. Damit behielt es genau ein Drittel des Kuchens, nachdem das dritte Kind ein Stück davon genommen hatte.

Bei dem beschriebenen Verfahren kann also jedes der drei Kinder selbst dafür sorgen, dass es mindestens ein Drittel des Kuchens bekommt.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass er zwar für zwei Kinder die vielen bekannte Lösung gibt, dass es aber für drei Kinder kein entsprechend erweitertes Verfahren mehr gibt.


Es gibt sogar noch eine weitere Lösung. Hier muss das erste Kind den Kuchen in drei gleich große Stücke schneiden. Falls das zweite Kind glaubt, dass eins dieser drei Stücke doch größer ist als die beiden anderen, so muss es davon so viel abschneiden und zum zweitgrößten Stück dazulegen, dass aus seiner Sicht die beiden Stücke anschließend gleich groß sind. Das dritte Kind darf sich dann von den drei Kuchenstücken eins auswählen. Wählt das dritte Kind nicht das Stück, von dem etwas abgeschnitten wurde, muss dieses Stück vom zweiten Kind genommen werden. In den beiden anderen Fällen darf das zweite Kind von den beiden übriggebliebenen Stücken eins aussuchen. Das erste Kind bekommt das letzte Stück.

Das erste Kind hat keinen guten Grund, sich zu beschweren, weil das letzte Stück unverändert geblieben ist und deshalb aus der Sicht dieses Kindes ein Drittel des ganzen Kuchens ausmacht. Das zweite Kind hatte die Chance, entweder das Stück Kuchen zu bekommen, von dem es etwas abgeschnitten hatte oder das, zu dem es etwas hinzugefügt hatte. Diese Stücke waren aber aus seiner Sicht nicht nur gleich groß, sondern auch die beiden größten Stücke. Da das dritte Kind die freie Wahl zwischen den drei Stücken hatte, hatte es erst recht keinen Grund, sich zu beschweren.


Referenz: Mathematik-Olympiade, Aufgabe 401011


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