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Blattlaus, Mammutbaum und die harmonische Reihe

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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20. Eine Blattlaus sitzt am Fuße eines 15m hohen Mammutbaumes. Sie krabbelt zu Beginn des Jahres 2cm am Stamm nach oben. Den Rest des Jahres wächst der Mammutbaum entlang seiner gesamten Länge gleichmäßig um 4cm. Dieser Vorgang wiederholt sich jedes Jahr: Die Blattlaus krabbelt 2cm weiter nach oben, der Baum wächst anschließend um 4cm. Erreicht die Blattlaus auf diese Weise jemals die Spitze des Baumes? Wenn ja, wie viele Jahre braucht sie und wie hoch ist der Baum dann?

Zu Anfang sei darauf hingewiesen, dass sich die beiden oben erwähnten Lebewesen teilweise unbiologisch verhalten müssen, damit das Rätsel in dieser Weise gestellt werden kann. Weder erreicht eine Blattlaus das notwendige Lebensalter noch wächst ein Mammutbaum gleichmäßig entlang seiner Länge. Die Angaben wurden aber so ausgewählt, dass zumindest Höhe und Alter des Mammutbaums ungefähr der Wirklichkeit entsprechen. Nun aber zur Auflösung des Rätsels:

Die Blattlaus schafft zu Beginn des ersten Jahres eine Strecke von 2cm, was 2cm/15m oder 1/750 der Baumhöhe entspricht. Diese relative Position behält die Blattlaus bei, während der Mammutbaum auf seiner ganzen Länge gleichmäßig um 4cm wächst. Der Baum hat dann eine Höhe von 15,04m und die Blattlaus krabbelt im Jahr darauf wieder 2cm hoch, was diesmal 2cm/15,04m oder 1/752 der Höhe entspricht. Ein weiteres Jahr später steigt sie um 2cm/15,08m oder 1/754.

Die relative Gesamthöhe hr, auf der sich die Blattlaus befindet, ist dann die Summe der einzelnen Beiträge:

hr = 1/750 + 1/752 + 1/754 + ... = 1/2 · (1/375 + 1/376 + 1/377 + ...)

Der Ausdruck in der Klammer ist bis auf endliche viele Anfangsglieder die harmonische Reihe. Da die harmonische Reihe wegen ihrer Divergenz gegen unendlich geht, muss hr irgendwann den notwendigen Wert von 1 übersteigen. Die Blattlaus erreicht also die Spitze des Baumes.

Für die exakte Berechnung der Summe endlich vieler Glieder der harmonischen Reihe gibt es keine einfache Formel. Die Berechnung mit Hilfe eines kleinen Programms ergibt, dass

1/2 · (1/375 + 1/376 + 1/377 + ... + 1/2766) = 0,99987 und
1/2 · (1/375 + 1/376 + 1/377 + ... + 1/2767) = 1,00005 ist.

Die linke Seite der letzten Gleichung hat 2767 – 374 = 2393 Summanden und ist größer als 1.

Da die Blattlaus jeweils am Beginn eines Jahres hochkrabbelt, braucht sie also insgesamt 2392 Jahre bis zur Spitze des Baumes.
Dementsprechend ist der Mammutbaum dann 15,00 m + 2392 · 0,04 m = 110,68m hoch.


Wenn man nur an einem ungefähren Ergebnis interessiert ist, kann man die Näherungsformel für die endliche harmonische Reihe anwenden:

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = ln(n) + γ

γ ist die Euler-Mascheroni-Konstante und ist ungefähr gleich 0,5772156649. Es gilt dann:

1/2 · (1/375 + 1/376 + 1/377 + ... + 1/n) = 1/2 · (ln(n) – ln(374)) = 1

n = e(ln(374) + 2) = 2763,5

Die Krabbeldauer liegt also laut Näherungsrechnung bei 2764 – 374 – 1 = 2389 Jahren.


Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, die Laus könne die Spitze des Baums deswegen nicht erreichen, weil der Baum schneller wächst als die Laus krabbelt. Die Intuition berücksichtigt nicht, dass auch das Wachsen des Baumes die Laus mit immer größerer Geschwindigkeit nach oben trägt.


Nimmt man im Gegensatz zu oben an, dass die Blattlaus und der Mammutbaum gleichzeitig laufen bzw. wachsen, dann kann man die Dauer T des Aufstiegs über eine Differentialgleichung lösen. Bezeichnet man die Anfangshöhe des Mammutbaums mit h0, die Krabbelgeschwindigkeit der Blattlaus mit v1 und die Wachstumsgeschwindigkeit des Mammutbaums mit v2, dann entfernt sich die Blattlaus mit der Geschwindigkeit v vom Boden:

v = dh/dt = v1 + v2 · h(t) / (h0 + v2 · t)

Der zweite Summand ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes an der Stelle h(t), an der sich die Blattlaus zur Zeit t gerade befindet. Die zweite Ableitung nach der Zeit ergibt (Quotientenregel):

d2h/dt2 = (v2 · dh/dt · (h0 + v2 · t) – v22 · h(t)) / (h0 + v2 · t)2

Nach Einsetzen von dh/dt aus der ersten Gleichung ist dann:

d2h/dt2 = (v2 · (v1 + v2 · h(t) / (h0 + v2 · t)) · (h0 + v2 · t) – v22 · h(t)) / (h0 + v2 · t)2
= (v1 · v2 · (h0 + v2 · t) + v22 · h(t) / (h0 + v2 · t) · (h0 + v2 · t) – v22 · h(t)) / (h0 + v2 · t)2
= (v1 · v2 · (h0 + v2 · t) + v22 · h(t) – v22 · h(t)) / (h0 + v2 · t)2
= v1 · v2 · (h0 + v2 · t) / (h0 + v2 · t)2
= v1 · v2 / (h0 + v2 · t)

Nach Integrieren der Gleichung ergibt sich:

dh/dt = v1 · v2 · ∫(dh / (h0 + v2 · t))
= v1 · v2 · ln(h0 + v2 · t) / v2 + C
= v1 · ln(h0 + v2 · t) + C

Zum Zeitpunkt t = 0 ist dh/dt auch gleich der Krabbelgeschwindigkeit der Blattlaus v1. Also gilt:

dh/dt = v1 = v1 · ln(h0 + v2 · 0) + C

Das ergibt für die Integrationskonstante C:

C = v1 · (1 – ln(h0))

Zum Zeitpunkt t = T, wenn die Blattlaus die Spitze des Mammutbaums erreicht, ist dh/dt dann die Summe von v1 und v2:

dh/dt = v1 + v2 = v1 · ln(h0 + v2 · T) + C
= v1 · ln(h0 + v2 · T) + v1 · (1 – ln(h0))
= v1 · ln(h0 + v2 · T) + v1 – v1 · ln(h0)
= v1 · ln(h0 + v2 · T) – v1 · ln(h0) + v1
= v1 · (ln(h0 + v2 · T) – ln(h0) + 1)
= v1 · (ln((h0 + v2 · T) / h0) + 1)
= v1 · ln(1 + v2 · T / h0) + v1

Daraus folgt:

v2 / v1 = ln(1 + v2 · T / h0)
ev2 / v1 = 1 + v2 · T / h0

Für T ergibt sich schließlich:

T = h0 / v2 · (ev2 / v1 – 1)
= 15m / (4cm/Jahr) · (e4cm/2cm – 1)
= 375 Jahre · 6,38906 = 2396 Jahre


Wie man sieht, ist dieser Wert fast identisch mit dem obigen Ergebnis. Die beiden Rätsel sind ja auch sehr ähnlich. Allerdings sind die beiden Formeln zum Errechnen der genauen Ergebnisse sehr unterschiedlich.


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