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Matherätsel mit Grundrechenarten

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


4. In einer Rechenaufgabe sollen nur die Zahlen 1, 3, 4 und 6 vorkommen, und zwar auch jeweils nur genau einmal. Zum Verknüpfen der Zahlen sind nur die 4 Grundrechenarten erlaubt. Klammern dürfen beliebig viele verwendet werden. Das Ergebnis soll 24 betragen. Wie lautet die Aufgabe?

Die einzige Möglichkeit, unter Verwendung der 4 Grundrechenarten das Ergebnis 24 zu bekommen, sieht so aus:

6 / (1 – 3 / 4) = 24

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass es mehrere Lösungen für die hochzusammengesetzte Zahl 24 gebe. Dann verblüfft auch noch, dass sich die einzige Lösung als so kompliziert herausstellt. Die folgenden Ausführungen zeigen, dass diese Intuition nicht ganz falsch ist, auch wenn sie uns bei der Zahl 24 auf die falsche Fährte lockt.


Für die halb so große hochzusammengesetzte Zahl 12 gibt es nämlich 150 Möglichkeiten. Hier sind nur zehn Beispiele:

6 + 4 + 3 – 1 = 12
(6 – 3) · 4 / 1 = 12
(6 – 3) · 4 · 1 = 12
(6 / 3 + 1) · 4 = 12
(6 · 1 – 3) · 4 = 12
(6 / 1 – 3) · 4 = 12
(6 – 3 · 1) · 4 = 12
(6 – 3 / 1) · 4 = 12
6 · 4 / (3 – 1) = 12
(4 + 1 – 3) · 6 = 12

Mit den vier Zahlen 1, 3, 4 und 6 kann man insgesamt 7680 Gleichungen mit 379 unterschiedlichen Ergebnissen formulieren.

Das größte endliche Ergebnis beträgt 96. Eine dazu gehörende Gleichung lautet:

(1 + 3) · 4 · 6 = 96

Das kleinste Ergebnis kann man folgendermaßen erreichen:

1 – 3 · 4 · 6 = –71

Die Ergebnisse, die der 24 am nächsten kommen, können durch folgende Gleichungen erreicht werden:

4 · 6 – 1 / 3 = 23,666 ...
4 · 6 + 1 / 3 = 24,333 ...


Bei n verschiedenen Zahlen lautet die Formel zur Berechnung der Anzahl Z der zu untersuchenden Gleichungen:

Z = (2n – 2)! / ((n – 1)! · (n – 1)! · n) · n! · 4n–1

Der Ausdruck (2n – 2)! / ((n – 1)! · (n – 1)! · n) ergibt eine Catalan-Zahl, die gleich der Anzahl der verschiedenen Klammermöglichkeiten ist.
Der Faktor n! bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten (Permutationen), die n verschiedenen Zahlen in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen.
Und 4n–1 ist die Anzahl der Möglichkeiten (Variationen mit Wiederholung) für den Einsatz der 4 Grundrechenarten.

Für n=4 verschiedene Zahlen wie im obigen Rätsel ist die Catalan-Zahl eine 5, n! ist gleich 24 und 4n–1 ist gleich 64.

Will man nur 2 verschiedene Zahlen mit den 4 Grundrechenarten verknüpfen, gibt es nur 8 Möglichkeiten, bei 3 Zahlen schon 192, bei 4 Zahlen die erwähnten 7680, bei 5 Zahlen sind es 430.080 und bei 6 Zahlen gibt es sogar 30.965.760 verschiedene Gleichungen.


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