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Geldsysteme und Zahlensysteme

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Welche Zahlen sollten auf Geldmünzen und Geldscheinen stehen? Warum gibt es 1€- und 2€-Stücke, 5€-, 10€-, 20€-, 50€-, 100€-, 200€- und 500€-Scheine?

In unserem täglichen Leben verwenden wir das Dezimalsystem. Welche Stückelung von Geldmünzen und Geldscheinen ist hierfür die günstigste? Welches Geldsystem ist also für das Dezimalsystem das Beste?

Dazu muss man zunächst überlegen, welche grundlegenden Eigenschaften für ein Geldsystem sinnvoll sind.

Für eine gute Übersichtlichkeit sollte es auf jeden Fall Münzen oder Scheine mit den Werten 100, 101, 102, 103, usw. geben.

Dabei sollten die Exponenten 0, 1, 2, 3 usw. lückenlos bis zu einer bestimmten natürlichen Zahl vorkommen. Demnach müsste es Münzen oder Scheine geben, die die Aufdrucke 1, 10, 100, 1000, usw. besitzen.

Ebenso dient es der Übersichtlichkeit, wenn es zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Zehnerpotenzen die gleiche Anzahl von verschiedenen Münzen oder Scheinen gibt, die auch jeweils Werte mit gleichen Anfangsziffern besitzen sollten.

Das bedeutet, dass es z.B. zwischen 1 Cent und 9 Cent genau so viele verschiedene Münzen geben sollte wie zwischen 10 Cent und 90 Cent. Es könnten beispielsweise die Werte 1 Cent, 3 Cent, 6 Cent und 10 Cent, 30 Cent, 60 Cent sein. Damit das nicht zu Bruchteilen der kleinsten Einheit (z.B. Cent) führt, sollte es nur Münzen oder Scheine geben, deren Wert nur vorne eine von Null verschiedene Ziffer besitzt (also nicht etwa 10€, 25€, 50€). Ein Wert von 25 Cent wäre nicht sinnvoll, weil es dann ja auch einen Wert von 2,5 Cent geben müsste.

Außerdem sollte man pro Größenordnung möglichst wenig Münzen oder Scheine dabei zu haben brauchen, um jeden beliebigen Betrag direkt ohne zu wechseln bezahlen zu können.

Um herauszufinden, mit wie vielen Münzen oder Scheinen man gerade auskommt, muss man sich klarmachen, dass sich jede Zahl als Summe von Zweierpotenzen darstellen lässt, wobei jede Zweierpotenz höchstens einmal vorkommt. Mit den drei Zweierpotenzen 1, 2 und 4 kann man gerade alle Beträge bis 7€ zusammenstellen (Beispiel: 5€ = 4€ + 1€). Von 1€ bis 15€ reichen gerade die vier Zweierpotenzen 1, 2, 4 und 8 (Beispiel: 13€ = 8€ + 4€ + 1€). Es gibt keine Möglichkeit, alle Beträge von 1€ bis 15€ durch die Summe von weniger als 4 Zahlen auszudrücken. Die Zahl 15 entspricht nämlich im Dualsystem (Zweiersystem) der vierziffrigen Zahl 1111. Und diese 4 Ziffern stellen jeweils eine Zweierpotenz dar.

Da unser Geldsystem auf dem Dezimalsystem aufbaut, müssen wir nun alle Beträge von z.B. 1€ bis 9€ zusammenstellen können. Wie oben erwähnt, kommt man bis 7€ gerade mit drei Münzen oder Scheinen aus. Bis 9€ braucht man also leider eine Münze oder einen Schein mehr, um alle Beträge ohne zu wechseln bezahlen zu können. Das Gleiche gilt entsprechend z.B. für den Bereich von 100€ bis 900€.

Es gibt insgesamt 17 verschiedene Möglichkeiten, mit maximal vier Münzen oder Scheinen alle Beträge zwischen 1€ und 9€ zusammenzulegen. Ein Beispiel wäre eine 1€-Münze, zwei 2€-Münzen und eine 6€-Münze. Der Wert dieser vier Münzen zusammen betrüge 11€. Dieses Ergebnis führt zur nächsten wünschenswerten Eigenschaft.

Man sollte pro Größenordnung einen möglichst kleinen Geldbetrag dabei zu haben brauchen, um jeden beliebigen Betrag direkt bezahlen zu können.

Bei dem von uns verwendeten Dezimalsystem reichen schon 9€, um jeden Betrag zwischen 1€ bis 9€ bezahlen zu können, wenn man eine der folgenden vier Geldaufteilungen wählt:

Fall 1Fall 2Fall 3Fall 4
 
1 €1 €1 €1 €
2 €2 €1 €1 €
3 €2 €3 €2 €
3 €4 €4 €5 €

In allen vier Fällen braucht es nur 3 unterschiedliche Münzen oder Scheine zu geben:

Fall 1Fall 2Fall 3Fall 4
 
1 €1 €1 €1 €
2 €2 €3 €2 €
3 €4 €4 €5 €

Die Fälle 2 und 4 haben noch den zusätzlichen Vorteil, dass auch mit einer anderen Kombination von Münzen oder Scheinen alle Beträge von 1€ bis 9€ abgedeckt werden können:

Fall 2Fall 4
 
1 €1 €
2 €2 €
4 €2 €
4 €5 €

Allerdings muss man im Fall 2 dann 11€ dabei haben, während im Fall 4 schon 10€ reichen. Zusätzlich kann man im Fall 4 mit fünf 2€-Münzen oder zwei 5€-Münzen die nächste Zehnerpotenz (10€) erreichen, weil 2 und 5 die beiden Primfaktoren von 10 sind.

Insgesamt hat demnach die Stückelung in 1€-, 2€- und 5€-Münzen die günstigsten Eigenschaften für ein Geldsystem im Dezimalsystem.


Abschließend soll noch die Frage beantwortet werden, welches das günstigste Zahlensystem für ein Geldsystem ist. Natürlich sollten, wie oben erwähnt, in allen Zahlensystemen die Geldwerte in jeder Größenordnung mit n0, n1, n2, n3, usw. anfangen, wobei n die Basis des jeweiligen Zahlensystems darstellt. Wenn wir ein Hexadezimalsystem hätten, würden die Größenordnungen dann mit 1, 16, 256, 4096, usw. anfangen. Natürlich stünden diese Werte nicht auf den Münzen oder Scheinen, sondern dort stünden die Hexadezimalzahlen 1, 10, 100, 1000, usw. Aus den obigen Überlegungen zur Summe von Zweierpotenzen lässt sich eine Formel ableiten, die die minimale Anzahl Zn(n) von Münzen oder Scheinen berechnet, die man pro Größenordnung n bei einem Zahlensystem mit der Basis n dabei haben muss, um ohne zu wechseln bezahlen zu können. Sie lautet:

Zn(n) = 1 + int(log2(n–1)) = 1 + int(ln(n–1) / ln(2))

Dabei bezeichnet int den ganzzahligen Anteil einer reellen Zahl. Wenn man die verschiedenen Zahlensysteme miteinander vergleichen will, muss man diese Anzahl auf eine feste Größenordnung n normieren. Wählt man dafür die Größenordnung 2, so lautet die Formel:

Z2(n) = Zn(n) · ln(2) / ln(n)

Der kleinste und damit beste Wert für Z2(n) beträgt 1 und wird von allen 2ner-Zahlensystemen erreicht.

Das Dualsystem, das Vierersystem, das Oktalsystem, das Hexadezimalsystem usw. eignen sich also am besten für ein Geldsystem. Im Dualsystem würde es z.B. nur Münzen oder Scheine mit dem Aufdruck 1 Cent, 10 Cent, 1 €, 10 €, 100 €, usw. geben, wobei die Zahlen natürlich als Dualzahlen zu lesen sind.

Von allen Zahlensystemen schneidet das Fünfersystem mit einem Z2(n) von 1,292 am schlechtesten ab.
Leider ist unser Dezimalsystem das schlechteste gerade Zahlensystem mit einem Wert für Z2(n) von 1,204.
Auch das Hexalsystem kommt nur auf ein Z2(n) von 1,161 und ist damit nicht besonders gut.
Das Duodezimalsystem schafft immerhin ein Z2(n) von 1,116.


Copyright © Werner Brefeld, 1999 ... 2017 (Originalquelle)

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