Hyperwürfel und seine Inkugel und Umkugel Fragen und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de, Adresse: siehe Impressum, Themenübersicht auf der Hauptseite: Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel (z.B. Hyperkugel im Hyperwürfel), Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

26. Ein Quadrat hat etwa 63,7% der Fläche seines Umkreises, der zugehörige Inkreis aber etwa 78,5% der Fläche des Quadrates. Ein Quadrat schmiegt sich also stärker an seinen Inkreis als an seinen Umkreis. Vergleicht man das Volumen eines Würfels mit dem Volumen seiner Umkugel und dem seiner Inkugel, so findet man diesen Effekt sogar verstärkt. Betrachtet man dagegen Hyperwürfel in immer höheren Dimensionen, so findet man eine Dimension, in der dieser Effekt maximal wird, dann wieder abnimmt und sich schließlich sogar umkehrt. Ab welcher Dimension schmiegt sich ein Hyperwürfel stärker an seine Umkugel als an seine Inkugel?

Das Volumen V einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r beträgt (Γ = Gamma-Funktion): V = π^n/2 · rⁿ / Γ(n/2 + 1)

Für geradzahlige n gilt wegen Γ(n) = (n – 1)! die Gleichung: V = π^n/2 · rⁿ / (n/2)!

Wenn man definiert, dass (1/2)! = Γ(3/2) sein soll und ausnutzt, dass Γ(3/2) = √π / 2 und (n+1)! = (n+1) · n! ist,
dann kann man die obige Gleichung und die folgenden Gleichungen auch für alle ganzzahligen n verwenden.

Wenn eine Hyperkugel die Umkugel (Radius r = ru) eines n-dimensionalen Würfels mit der Seite a ist, so gilt: a = 2 · ru / √n Das Volumen für einen n-dimensionalen Würfel mit der Seite a beträgt: Vw = an = 2n · run / nn/2 Die Inkugel eines Hyperwürfels wiederum hat einen Radius ri von: ri = ru / √n Damit beträgt das Volumen dieser Inkugel: Vi = πn/2 · run / (nn/2 · (n/2)!)

Das Verhältnis der Volumenverhältnisse beträgt dann: (V_w / V_u) / (V_i / V_w) = 2²ⁿ / (πⁿ · n^n/2) · (n/2)!²

Ist dieses Verhältnis kleiner als Eins, schmiegt sich der Hyperwürfel stärker an seine Inkugel, ist es größer als Eins, schmiegt er sich stärker an seine Umkugel. Für r_u = 1 enthält die folgende Tabelle die Werte für die Dimension, für die Volumina von Inkugel, Hyperwürfel und Umkugel, und für das Verhältnis der oben erwähnten Volumenverhältnisse:

Nach der Stirlingschen Formel gilt für das Verhältnis der Volumenverhältnisse schon für kleine n in guter Näherung:

(V_w / V_u) / (V_i / V_w) = π · n · (2 · √n / π / e)ⁿ

Man erkennt aus der rechten Spalte der Tabelle, dass im zweidimensionalen bis achtdimensionalen Raum der Hyperwürfel mehr an seiner Inkugel anliegt. Im vierdimensionalen Raum ist dieser Effekt am größten. Ab der neunten Dimension schmiegt sich der Hyperwürfel stärker an seine Umkugel an. Die Näherungsformel zeigt, dass dieses Anschmiegen mit steigendem n immer stärker wird.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass sich eine bestimmte Beziehung zwischen einem Körper und seiner Inkugel und Umkugel nicht einfach ab einer bestimmten Dimension in ihr Gegenteil verkehren könne. Die folgenden Überlegungen zeigen, dass diese Intuition nicht ganz falsch ist, auch wenn sie uns im Falle des Würfels auf die falsche Fährte lockt.



Neben dem Hyperwürfel gibt es in allen n-dimensionalen Räumen auch noch den Tetraeder (Simplex) und den Oktaeder (Kreuzpolytop). Für diese Körper kann man die gleichen Überlegungen wie oben anstellen. Dazu braucht man wieder die entsprechenden Formeln:

Volumen der n-dimensionalen Umkugel: V_u = π^n/2 · r_uⁿ / (n/2)!

Seite a des n-dimensionalen Tetraeders: a = 2^1/2 · (n+1)^1/2 · r_u / √n

Volumen des n-dimensionalen Tetraeders mit Seite a: V_t = (n+1)^1/2 · aⁿ / 2^n/2 / n! = (n+1)^(n+1)/2 · r_uⁿ / n^n/2 / n!

Volumen der n-dimensionalen Inkugel: V_i = π^n/2 · r_uⁿ / (nⁿ · (n/2)!)

Das Verhältnis der Volumenverhältnisse beträgt dann: (V_t / V_u) / (V_i / V_t) = (n + 1)ⁿ⁺¹ / πⁿ · (n/2)!² / n!²

Daraus ergibt sich die folgende Tabelle (r_u = 1):

Nach der Stirlingschen Formel gilt für das Verhältnis der Volumenverhältnisse schon für kleine n in guter Näherung:

(V_t / V_u) / (V_i / V_t) = (n + 1)/2 · (1 + 1/n)ⁿ · (e / 2π)ⁿ

Man erkennt, dass das Verhältnis für steigendes n immer kleiner wird. Der n-dimensionale Tetraeder schmiegt sich also immer stärker an seine Inkugel an und zeigt damit nicht das verblüffende Verhalten des Hyperwürfels.



Zum Schluss noch die entsprechenden Formeln für den n-dimensionalen Oktaeder mit seiner Inkugel und Umkugel:

Volumen der n-dimensionalen Umkugel: V_u = π^n/2 · r_uⁿ / (n/2)!

Seite a des n-dimensionalen Oktaeders: a = 2^1/2 · r_u

Volumen des n-dimensionalen Oktaeders mit Seite a: V_o = 2^n/2 · aⁿ / n! = 2ⁿ · r_uⁿ / n!

Volumen der n-dimensionalen Inkugel: V_i = π^n/2 · r_uⁿ / (n^n/2 · (n/2)!)

Das Verhältnis der Volumenverhältnisse beträgt dann: (V_o / V_u) / (V_i / V_o) = 2²ⁿ / πⁿ · n^n/2 · (n/2)!² / n!²

Daraus folgt schließlich die letzte Tabelle (r_u = 1):

Nach der Stirlingschen Formel gilt für das Verhältnis der Volumenverhältnisse schon für kleine n in guter Näherung:

(V_o / V_u) / (V_i / V_o) = 1/2 · (2e / (π · √n))ⁿ

Man erkennt, dass auch hier das Verhältnis für steigendes n immer kleiner wird. Der n-dimensionale Oktaeder schmiegt sich also auch immer stärker an seine Inkugel an und zeigt damit ebenfalls nicht das verblüffende Verhalten des Hyperwürfels.



Eine Hyperkugel mit dem Radius r hat übrigens in der n-ten Dimension die Oberfläche O = 2 · π^n/2 · r^{n – 1} / (n/2 – 1)!.

Und ein Hyperwürfel mit der Seite a hat die Oberfläche O_w = 2n · a^{n – 1}.


Copyright © Werner Brefeld (2005)