quadratsumme

Goldkette und Zweierpotenzen

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

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21. Eine offene Goldkette besteht aus 63 Gliedern. Durch Aufbiegen von möglichst wenig Gliedern soll die Goldkette so in Teilketten zerlegt werden, dass man jede beliebige Anzahl von Gliedern zusammenlegen kann. Ein aufgebogenes Glied zählt als Einzelglied. Wie viele Glieder muss man aufbiegen?

Wenn man Zahlen im Binärsystem darstellt, erkennt man, dass man jede Zahl als Summe von verschiedenen Zweierpotenzen darstellen kann. Insbesondere ist die Summe der Zweierpotenzen von 20 bis 2n gleich 2n+1 – 1. Da 63 gleich 26 – 1 ist, lässt sie sich als Summe der Zweierpotenzen von 20 bis 25 darstellen:

63 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32

Wenn man die Goldkette durch Aufbiegen in Teilketten mit 4, 8, 16 und 32 Gliedern zerlegt, muss man 3 Kettenglieder aufbiegen. Die 3 aufgebogenen Einzelglieder kann man für die fehlenden ersten beiden Summanden (1 = 20 und 2 = 21) benutzen.

Man braucht also tatsächlich nur 3 Kettenglieder aufzubiegen, um alle Gliederanzahlen von 1 bis 63 zusammenstellen zu können.


Kann man das Matherätsel auch mit einer anderen Anzahl von Gliedern formulieren, von denen man auch nur entsprechend wenige aufbiegen muss? Oder, mathematisch formuliert, gibt es weitere positive ganze Zahlen mit folgenden Eigenschaften?

1. Die Zahl (also die Anzahl der Glieder der Kette) lässt sich als Summe von aufeinanderfolgenden Zweierpotenzen darstellen, wobei der erste Term der Reihe 20 = 1 ist. Der Wert dieser Summe beträgt dann 2n+1 – 1, wobei n eine natürliche Zahl ist.

2. Die Summe der ersten k Terme (k < n + 1), die der Anzahl der aufzubiegenden Glieder entspricht, ist genau um 1 kleiner als die Anzahl der noch folgenden Terme dieser Reihe.

Alle Zahlen mit diesen Eigenschaften lassen sich einfach dadurch konstruieren, indem man den ersten Term, die Summe der ersten beiden Terme, die Summe der ersten drei Terme der Reihe der Zweierpotenzen bildet, daraus die Anzahl der noch folgenden Terme bestimmt und dann aus der Summe aller Terme die jeweilige Zahl der Kettenglieder berechnet. Die kleinsten vier Lösungen sind die folgenden:

Anzahl der aufzubiegenden Glieder: 20 = 1; Anzahl der Glieder insgesamt: 21+1+1 – 1 = 7

Anzahl der aufzubiegenden Glieder: 20 + 21 = 3; Anzahl der Glieder insgesamt: 22+3+1 – 1 = 63

Anzahl der aufzubiegenden Glieder: 20 + 21 + 22 = 7; Anzahl der Glieder insgesamt: 23+7+1 – 1 = 2047

Anzahl der aufzubiegenden Glieder: 20 + 21 + 22 + 23 = 15; Anzahl der Glieder insgesamt: 24+15+1 – 1 = 1.048.576

Man erkennt, dass die Anzahl der Kettenglieder bei 7 anfängt und dann schnell größer wird, und dass es unendlich viele Lösungen gibt. Für die Anzahl der Glieder einer Goldkette ist 63 deshalb eine geeignete Zahl.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, dass man wesentlich mehr Kettenglieder aufbiegen müsse, um die Bedingung zu erfüllen. Die Intuition erkennt nicht, dass mit dem Binärsystem ein mächtiges Instrument zur Verfügung steht, um die Zahl der Aufbiegungen klein zu halten.


Referenz: Mathematik-Olympiade, Aufgabe 361014


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