mathematik-werner-brefeld

Zahlensysteme, kleines Einmaleins und Teilbarkeitsregeln

Adresse: siehe Impressum, Themenübersicht auf der Hauptseite:

Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


Welches sind die besten Zahlensysteme für den Alltag? Warum hat unser Zahlensystem 10 Ziffern?

Im täglichen Leben verwenden wir das Dezimalsystem, also das Zahlensystem mit der Basis 10. Warum ist das Dezimalsystem für uns eigentlich so vorteilhaft? Liegt es nur daran, dass wir uns daran gewöhnt haben? Oder ist es tatsächlich für den täglichen Gebrauch gut geeignet? Gibt es auch noch andere Zahlensysteme, die gut oder sogar besser für den Alltag geeignet wären? Vielleicht wissen Sie, dass das Dezimalsystem zu den sogenannten Stellenwertsystemen gehört. Diese Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass jede Ziffer an jeder Stelle einer Zahl auftauchen kann, dass ihr Wert aber von ihrer Position in der Zahl abhängt. Stellenwertsysteme sind sehr elegant für Berechnungen und haben sich weltweit durchgesetzt. Im Gegensatz ist das Zahlensystem der römischen Zahlen kein Stellenwertsystem und daher für Berechnungen wenig geeignet.

Wenn wie also herausfinden wollen, welche Eigenschaften ein gutes Zahlensystem für den Alltag haben sollte, dann ist es sinnvoll, die Suche auf die Stellenwertsysteme zu beschränken. Die folgenden Eigenschaften erscheinen für geeignete Zahlensysteme besonders sinnvoll:

1. Die Anzahl der Ziffern des Zahlensystems sollte nicht größer sein als etwa die Anzahl der Buchstaben des Alphabets, damit man sich nicht so viele verschiedene Ziffern merken muss:

Geeignete Zahlensysteme sollten also höchstens die Basis 30 haben.

2. Das kleine Einmaleins der Zahlensysteme sollte nicht mehr Multiplikationen haben als das große Einmaleins (1 · 1 bis 20 · 20) des Dezimalsystems, damit es für einen Menschen mit durchschnittlichem Gedächtnis noch im Kopf möglich ist. Dementsprechend bleibt auch die Möglichkeit des schriftlichen Multiplizierens von mehrstelligen Zahlen erhalten:

Geeignete Zahlensysteme sollten also höchstens die Basis 20 haben.

3. Die Zahlendarstellung sollte nicht mehr als doppelt so lang sein wie im Dezimalsystem, damit man nicht so viele Ziffern lesen und gelegentlich auch schreiben muss. Im Binärsystem und im 3er-System haben die Zahlen im Durchschnitt mehr als die doppelte Darstellungslänge des Dezimalsystems. Erst das 4er-System hat eine weniger als doppelt so lange Zahlendarstellung:

Geeignete Zahlensysteme sollten also mindestens die Basis 4 haben.

4. Es sollte einfache Teilbarkeitsregeln lückenlos für möglichst viele Zahlen ab 2 geben. Einfache Teilbarkeitsregeln sind solche, bei denen man von der zu untersuchenden Zahl entweder nur die letzte Ziffer (Z), die beiden letzten Ziffern (ZZ) oder die Quersumme (Q) prüfen muss. Im Alltag ist es oft nützlich zu wissen, ob sich eine bestimmte Zahl von z.B. Dingen oder Euro ohne Rest aufteilen lässt. Dabei geht es meistens um das Teilen durch kleine Zahlen.


Die folgende Tabelle zeigt, welche einfachen Teilbarkeitsregeln in den verschiedenen Zahlensystemen für welche Zahlen angewendet werden können. Alle Zahlensysteme bis zur Basis 30 sind aufgeführt:

BasisTeilbarkeit
desdurch
Zahlensystems234567
 
2 Z ZZ
3 Q Z Q,Z
4 Z Q Z Z,Q
5 Q Q Z
6 Z Z ZZ Q Z
7 Q Q Q Z
8 Z Z Q
9 Q Z Q Q,Z
10 Z Q ZZ Z Z,Q
11 Q Q
12 Z Z Z Z
13 Q Q Q Q
14 Z ZZ Z
15 Q Z Z Q,Z Q
16 Z Q Z Q Z,Q
17 Q Q
18 Z Z ZZ Z
19 Q Q Q
20 Z Z Z
21 Q Z Q Q Q,Z Z
22 Z Q ZZ Z,Q Q
23 Q
24 Z Z Z Z
25 Q Q Q Z Q
26 Z ZZ Q
27 Q Z Q,Z
28 Z Q Z Z,Q Z
29 Q Q Q
30 Z Z ZZ Z Z

Die einzigen Zahlensysteme (von der Basis 4 bis zur Basis 20) mit einfachen Teilbarkeitsregeln für die Zahlen von 2 bis 6 sind das Hexalsystem (Basis 6), das Dezimalsystem (Basis 10) und das Hexadezimalsystem (Basis 16).

Nur diese drei Zahlensysteme erfüllen also alle oben genannten Kriterien und sind somit für den täglichen Gebrauch gut geeignet. Betrachtet man drei weitere speziellere Kriterien, werden die verschiedenen Stärken dieser drei Zahlensysteme deutlich.

Wenn man ein Geldsystem mit Geldmünzen und Geldscheinen einführen möchte, auf denen nur Werte vorkommen, bei denen nur die Anfangsziffern von Null verschieden sind (wie z.B. 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, ... im Dezimalsystem), bei denen außerdem alle Potenzen der Basis auftauchen (1, 10, 100, ...), und wobei man schließlich möglichst wenig Münzen und Scheine mitzunehmen braucht, um jeden Geldbetrag bezahlen zu können, dann geht das nur mit Zahlensystemen, die als Basis eine Zweierpotenz (also 2, 4, 8, 16, 32, ...) haben. Man müsste sich dann also für das Hexadezimalsystem entscheiden.

Legt man auf besonders einfache Teilbarkeitsregeln für die kleinsten Zahlen wert, dann landet man mit dieser Zusatzeigenschaft beim Hexalsystem. Von den ausgewählten Zahlensystemen kann nur im Hexalsystem die Teilbarkeit durch 2 und 3 mit der einfachsten Teilbarkeitsregel Z geprüft werden. Das bedeutet gleichzeitig, dass man die Brüche 1/2 und 1/3 als Zahlen mit nur einer Nachkommastelle darstellen kann: 1/2 = 0,36 und 1/3 = 0,26.

Soll allerdings die Anzahl der Finger des Menschen mit der Basis des benutzten Zahlensystems übereinstimmen, muss man sich für das Dezimalsystem entscheiden. Heute dürften allerdings immer weniger Menschen mit den Fingern zählen, da meistens andere Dinge wie Papier und Bleistift zur Verfügung stehen. Insofern hat diese zusätzliche Eigenschaft des Dezimalsystems weitgehend an Bedeutung verloren. Sie hat aber vermutlich die Wahl des Dezimalsystems maßgeblich beeinflusst.

Es sollte nicht unerwähnt bleiben, dass neben dem Hexalsystem auch das Duodezimalsystem (12er-System) gut abschneidet, wenn man nur die einfachste Teilbarkeitsregel (Z) betrachtet. Im Duodezimalsystem kann diese Teilbarkeitsregel sogar auf die Zahlen 2, 3, 4 und auch auf die 6 angewendet werden. Entsprechend gilt im Duodezimalsystem: 1/2 = 0,612; 1/3 = 0,412; 1/4 = 0,312; 1/6 = 0,212. Das Hexalsystem und das Duodezimalsystem können dabei davon profitieren, dass 6 und 12 hochzusammengesetzte Zahlen sind. Das ist zum Beispiel nützlich, wenn man bei einem Eierkarton mit 6 Eiern oder einem Getränkekasten mit 12 Flaschen vom Gesamtpreis auf den Einzelpreis umrechnen will. Das Duodezimalsystem wäre also auch ein geeigneter Kandidat für den täglichen Gebrauch.



Zum Schluss folgt der Beweis der oben verwendeten Teilbarkeitsregel Q. Die Teilbarkeitsregel für die alternierende Quersumme wurde oben nicht betrachtet, weil sie im täglichen Leben wegen ihrer größeren Unübersichtlichkeit kaum verwendet werden dürfte. Trotzdem wird zur Abrundung auch der entsprechende Beweis dargestellt.


Beweis der Quersummenregel im n-er Zahlensystem

Darstellung der Zahl z mit den Ziffern zk, zk–1, … , z2, z1 ,z0 im n-er Zahlensystem:

z = zk·nk + zk–1·nk–1 + … + z2·n2 + z1·n + z0
= zk·(nk – 1) + zk–1·(nk–1 – 1) + … + z2·(n2 – 1) + z1·(n – 1) + (zk + zk–1 + … + z2 + z1 + z0) (Quersumme)

= zk·(n – 1)·(nk–1 + nk–2 + … + n2 + n + 1)
+ zk–1·(n – 1)·(nk–2 + nk–3 + … + n2 + n + 1)
+ …
+ z2·(n – 1)·(n + 1)
+ z1·(n – 1)
+ Quersumme

= (n – 1)·(zk·(nk–1 + nk–2 + … + n2 + n + 1) + zk–1·(nk–2 + nk–3 + … + n2 + n + 1) + … + z2·(n + 1) + z1)
+ Quersumme

Man erkennt, dass sich jede Zahl als Summe eines Vielfachen von n – 1 und der Quersumme aufspalten lässt. Ist also im n-er Zahlensystem die Quersumme einer Zahl z durch n – 1 teilbar, dann ist auch z selbst durch n – 1 teilbar. Ebenso ist z genau dann durch jeden Teiler von n – 1 teilbar, wenn die Quersumme durch diesen Teiler teilbar ist. Beispielsweise kann die Quersummenregel im Hexadezimalsystem für die Zahlen 3, 5 und 15 verwendet werden.


Beweis der alternierenden Quersummenregel im n-er Zahlensystem

Darstellung der Zahl z mit den Ziffern zk, zk–1, … , z2, z1 ,z0 im n-er Zahlensystem:

z = zk·nk + zk–1·nk–1 + … + z2·n2 + z1·n + z0
= zk·(nk – 1) + zk–1·(nk–1 + 1) + … + z2·(n2 – 1) + z1·(n + 1) + (zk – zk–1 + … + z2 – z1 + z0) (alternierende Quersumme)

= zk·(n + 1)·(nk–1 – nk–2 + … – n2 + n – 1)
+ zk–1·(n + 1)·(nk–2 – nk–3 + … + n2 – n + 1)
+ …
+ z2·(n + 1)·(n – 1)
+ z1·(n + 1)
+ alternierende Quersumme

= (n + 1)·(zk·(nk–1 – nk–2 + … – n2 + n – 1) + zk–1·(nk–2 – nk–3 + … + n2 – n + 1) + … + z2·(n – 1) + z1)
+ alternierende Quersumme

Man erkennt, dass sich jede Zahl als Summe eines Vielfachen von n + 1 und der alternierenden Quersumme aufspalten lässt. Ist also im n-er Zahlensystem die alternierende Quersumme einer Zahl z durch n + 1 teilbar, dann ist auch z selbst durch n + 1 teilbar. Ebenso ist z genau dann durch jeden Teiler von n + 1 teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch diesen Teiler teilbar ist. Beispielsweise kann die alternierende Quersummenregel im Hexadezimalsystem nur für die Zahl 17 verwendet werden. Für den Beweis wurde eine ungerade Anzahl von Ziffern vorausgesetzt. Wenn die Anzahl der Ziffern gerade ist, müssen nur einige Vorzeichen am Ende einiger Summandenreihen ausgetauscht werden.


Copyright © Werner Brefeld, 2000 ... 2017 (Originalquelle)

Valid HTML 4.01!

Von 2005 bis Ende 2016: 2,4 Millionen Besucher --- Seit dem 8. März 2014: Besucherzähler Html