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Würfelschnitt und regelmäßige Vielecke

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


19. Welche regelmäßigen Vielecke können entstehen, wenn man einen Würfel einmal durchschneidet?

Beim Schnitt durch einen Würfel werden aus Schnitten durch die Seitenflächen des Würfels die Seiten der Schnittfläche. Da ein Würfel 6 Seiten besitzt, können deshalb beim Schneiden keine Vielecke als Schnittflächen entstehen, die mehr als 6 Seiten besitzen. Wie die Abbildungen zeigen, kann man gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke erzeugen.

wuerfelschnitt

Das dargestellte Dreieck ist gleichseitig, weil alle seine Seiten mit einer Diagonalen eines Oberflächenquadrates identisch und damit gleich sind.

Dass es sich in der mittleren Abbildung um ein Quadrat handelt, ist offensichtlich.

Wenn man die Schnittebene so legt, dass sie 5 Flächen des Würfels schneidet, ergibt sich als Schnittfläche ein Fünfeck. Man kann dann allerdings nicht vermeiden, dass Würfelflächen geschnitten werden, die einander gegenüber liegen. Da diese Flächen zueinander parallel sind, sind es auch die durch den Schnitt entstehenden Seiten des Fünfecks. Man kann deshalb kein regelmäßiges Fünfeck erzeugen, da dieses keine parallelen Seiten besitzt. Da auch beim regelmäßigen Dreieck keine zwei Seiten zueinander parallel sind, dürfen hier die geschnittenen Würfelflächen einander nicht gegenüber liegen. Man kann das in der Zeichnung auch sehr gut erkennen.

Beim Sechseck kann man mit Hilfe des Pythagoras-Satzes leicht erkennen, dass alle Seiten gleich lang sind und dass auch alle Abstände der Eckpunkte zum Mittelpunkt des Würfels dieselbe Länge haben. Das Sechseck besteht also aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Da außerdem die Verbindungslinien der jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte des Sechsecks durch den Mittelpunkt des Würfels gehen, handelt es sich um ein ebenes regelmäßiges Sechseck.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, dass beim Durchschneiden eines Würfels Quadrate die einzigen regelmäßigen Vielecke sind, die entstehen können. Gleichseitige Dreiecke oder gar regelmäßige Sechsecke hält die Intuition nicht für möglich.


Neben dem Würfel gibt es noch vier weitere Platonische Körper, nämlich Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Auch diese Polyeder kann man so durchschneiden, dass unterschiedliche regelmäßige Vielecke entstehen. Die folgende Abbildung zeigt Schnitte, die zu regelmäßigen Vielecken führen.

polyeder-schnitt

Tetraeder:
Beim Tetraeder können nach den obigen Überlegungen nur Dreiecke und Vierecke als Schnittflächen entstehen. Schneidet man das Tetraeder geeignet durch, kann man tatsächlich gleichseitige Dreiecke und Quadrate bekommen.

Oktaeder:
Beim Oktaeder entstehen als Schnittflächen mindestens Vierecke, weil eine Schnittfläche mindestens so viele Seiten haben muss, wie Flächen an einer Ecke des Oktaeders zusammenstoßen. Zusätzlich sind nur noch Fünfecke und Sechsecke möglich. Auf einer der beiden Seiten der Schnittfläche können sich nämlich höchstens 3 der 6 Oktaederecken befinden. Und wenn man durch einen Schnitt 3 Ecken des Oktaeders abschneidet, geht der Schnitt höchstens durch 6 Flächen. Wie die Abbildung zeigt, kann man das Oktaeder so schneiden, dass Quadrate und regelmäßige Sechsecke entstehen. Aus dem gleichen Grunde, der schon beim Würfelschnitt angegeben wurde, sind auch hier keine regelmäßigen Fünfecke möglich.

Dodekaeder:
Beim Dodekaeder sind als Schnittflächen alle Vielecke vom Dreieck bis zum Zehneck machbar. Hier gibt es die meisten regelmäßigen Vielecke. Man kann durch Schneiden gleichseitige Dreiecke, Quadrate, regelmäßige Fünfecke, regelmäßige Sechsecke und regelmäßige Zehnecke erzeugen. Aus dem gleichen Grunde, der schon beim Würfelschnitt angegeben wurde, sind keine regelmäßigen Siebenecke und Neunecke möglich.

Ikosaeder:
Schließlich entstehen beim Ikosaeder als Schnittflächen mindestens Fünfecke, weil eine Schnittfläche mindestens so viele Seiten haben muss, wie Flächen an einer Ecke des Ikosaeders zusammenstoßen. Als Schnittflächen sind alle Vielecke vom Fünfeck bis zum Zwölfeck machbar. Man kann durch Schneiden regelmäßige Fünfecke und Zehnecke erzeugen. Aus dem gleichen Grunde, der schon beim Würfelschnitt angegeben wurde, sind keine regelmäßigen Elfecke möglich.


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