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Wahlverfahren und die Uneindeutigkeit der Wahl eines Kandidaten

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Welches sind sinnvolle Wahlverfahren, um unter drei Kandidaten einen auszuwählen? Warum können Wahlverfahren zu unterschiedlichen Gewinnern führen?

Siehe dazu auch mein Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

Es leuchtet unmittelbar ein, dass es nur ein sinnvolles Wahlverfahren gibt, wenn man sich nur zwischen zwei Kandidaten entscheiden kann. Es gewinnt selbstverständlich derjenige, auf den die meisten Stimmen entfallen. Dass es aber schon bei drei Kandidaten nicht nur ein sinnvolles Wahlverfahren gibt, um einen Gewinner zu ermitteln, ist schon erstaunlich. Es gibt hier also keine Eindeutigkeit mehr bei der Suche nach einem Gewinner. Um dieses nicht auflösbare Dilemma zu verdeutlichen, werden 5 verschiedene fiktive Wahlen (Spalten) nach 8 verschiedenen sinnvollen Wahlverfahren ausgewertet. Die Wahlergebnisse sind so ausgesucht, dass beim ersten Wahlverfahren (ein häufig angewendetes) immer der gleiche Kandidat gewinnt. Dadurch wird noch deutlicher sichtbar, dass je nach Wahlverfahren teilweise verschiedene Kandidaten gewinnen.

Wahlverfahren bei drei Kandidaten

Die drei Kandidaten werden mit A, B und C bezeichnet. Jeder Wähler muss einen Favoriten (1. Wahl) und einen zweitliebsten Kandidaten (2. Wahl) bestimmen, also sich für AB, AC, BA, BC, CA oder CB entscheiden, wobei die jeweils ersten Buchstaben den Favoriten darstellen. AB = 24% bedeutet also, dass sich 24% der Wähler für A als Favoriten und gleichzeitig für B als „2. Wahl“ entschieden haben.


Wahlergebnisse:

Wahl 1 Wahl 2 Wahl 3 Wahl 4 Wahl 5
 
AB = 24 % AB = 0 % AB = 20 % AB = 60 % AB = 38 %
AC = 12 % AC = 40 % AC = 20 % AC = 0 % AC = 22 %
 
BA = 4 % BA = 0 % BA = 9 % BA = 0 % BA = 0 %
BC = 30 % BC = 32 % BC = 22 % BC = 36 % BC = 36 %
 
CA = 15 % CA = 0 % CA = 12 % CA = 0 % CA = 0 %
CB = 15 % CB = 28 % CB = 17 % CB = 4 % CB = 4 %


Wahlverfahren 1: Der Kandidat, auf den die meisten Favoritenstimmen entfallen, gewinnt die Wahl. Dieses Verfahren nennt sich Mehrheitswahl und wird bei der Wahl der Senatoren in den Bundesstaaten der USA angewendet.

A = 36 % A = 40 % A = 40 % A = 60 % A = 60 %
B = 34 % B = 32 % B = 31 % B = 36 % B = 36 %
C = 30 % C = 28 % C = 29 % C = 4 % C = 4 %
 
A gewinnt. A gewinnt. A gewinnt. A gewinnt. A gewinnt.


Wahlverfahren 2: Die beiden Kandidaten, auf die die meisten und zweitmeisten Favoritenstimmen entfallen, kommen in die Stichwahl, sofern ein Kandidat nicht schon im ersten Wahlgang die absolute Mehrheit der Favoritenstimmen auf sich vereinigt. In der Stichwahl gewinnt der Kandidat, der dort die meisten Stimmen enthält. Dieses Wahlverfahren wird bei der Bestimmung des französischen Präsidenten praktiziert.

A = 36 % A = 40 % A = 40 % A = 60 % A = 60 %
B = 34 % B = 32 % B = 31 % B = 36 % B = 36 %
C = 30 % C = 28 % C = 29 % C = 4 % C = 4%
 
A und B A und B A und B A gewinnt. A gewinnt.
Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl.
 
A = 51 % A = 40 % A = 52 %
B = 49 % B = 60 % B = 48 %
 
A gewinnt. B gewinnt. A gewinnt.


Wahlverfahren 3: Die beiden Kandidaten, die nicht die meisten Favoritenstimmen erhalten haben, kommen in eine Stichwahl, sofern ein Kandidat nicht schon im ersten Wahlgang die absolute Mehrheit der Favoritenstimmen auf sich vereinigt. Der Sieger dieser Stichwahl kommt dann zusammen mit dem Kandidaten, der die meisten Favoritenstimmen erhalten hat, in die endgültige Stichwahl.

A = 36 % A = 40 % A = 40 % A = 60 % A = 60 %
B = 34 % B = 32 % B = 31 % B = 36 % B = 36 %
C = 30 % C = 28 % C = 29 % C = 4 % C = 4 %
 
A und C B und C B und C A gewinnt. A gewinnt.
Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl.
 
B = 58 % B = 32 % B = 51 %
C = 42 % C = 68 % C = 49 %
 
A und B A und C A und B
Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl.
 
A = 51 % A = 40 % A = 52 %
B = 49 % C = 60 % B = 48 %
 
A gewinnt. C gewinnt. A gewinnt.


Wahlverfahren 4: Der Kandidat, der am seltensten „3. Wahl“ ist, gewinnt die Wahl. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Kandidat gewinnt, der am häufigsten "1. Wahl" oder "2. Wahl" ist.

A = 45 % A = 60 % A = 39 % A = 40 % A = 40 %
B = 27 % B = 40 % B = 32 % B = 0 % B = 22 %
C = 28 % C = 0 % C = 29 % C = 60 % C = 38 %
 
B gewinnt. C gewinnt. C gewinnt. B gewinnt. B gewinnt.


Wahlverfahren 5: Der Kandidat, der am häufigsten „3. Wahl“ ist, darf nicht in die Stichwahl. Oder anders ausgedrückt: Die beiden Kandidaten, die am häufigsten "1. Wahl" oder "2. Wahl" geworden sind, kommen in die Stichwahl. Dort gewinnt dann der von diesen beiden Kandidaten, der die meisten Stimmen erhält.

A = 45 % A = 60 % A = 39 % A = 40 % A = 40 %
B = 27 % B = 40 % B = 32 % B = 0 % B = 22 %
C = 28 % C = 0 % C = 29 % C = 60 % C = 38 %
 
B und C B und C B und C A und B B und C
Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl.
 
B = 58 % B = 32 % B = 51 % A = 60 % B = 74 %
C = 42 % C = 68 % C = 49 % B = 40 % C = 26 %
 
B gewinnt. C gewinnt. B gewinnt. A gewinnt. B gewinnt.


Wahlverfahren 6: Die beiden Kandidaten, die am häufigsten "3. Wahl" sind, kommen in eine Stichwahl. Der Sieger dieser Stichwahl kommt dann zusammen mit dem Kandidaten, der die meisten Favoritenstimmen erhalten hat, in die endgültige Stichwahl.

A = 45 % A = 60 % A = 39 % A = 40 % A = 40 %
B = 27 % B = 40 % B = 32 % B = 0 % B = 22 %
C = 28 % C = 0 % C = 29 % C = 60 % C = 38 %
 
A und C A und B A und B A und C A und C
Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl.
 
B = 58 % A = 40 % A = 52 % A = 60 % A = 60 %
C = 42 % B = 60 % B = 48 % C = 40 % C = 40 %
 
A und B B und C A und C A und B A und B
Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl. Stichwahl.
 
A = 51 % B = 32 % A = 49 % A = 60 % A = 60 %
B = 49 % C = 68 % C = 51 % B = 40 % B = 40 %
 
A gewinnt. C gewinnt. C gewinnt. A gewinnt. A gewinnt.


Wahlverfahren 7: Für jede Favoritenstimme gibt es zwei Punkte, Für jede "2. Wahl" gibt es einem Punkt. Der Kandidat, der die meisten Punkte bekommt, gewinnt die Wahl. Dieses Verfahren wird nach dem Erfinder "Methode von Borda" genannt. Identisch ist das Verfahren, bei dem der Kandidat gewinnt, der in den beiden möglichen Stichwahlen gegen die anderen Kandidaten insgesamt die meisten Stimmen bekäme.

A = 91 P. A = 80 P. A = 101 P. A = 120 P. A = 120 P.
B = 107 P. B = 92 P. B = 99 P. B = 136 P. B = 114 P.
C = 102 P. C = 128 P. C = 100 P. C = 44 P. C = 66 P.
 
B gewinnt. C gewinnt. A gewinnt. B gewinnt. A gewinnt.


Wahlverfahren 8: Jeder Wähler hat die Möglichkeit, für einen, für zwei oder für alle drei Kandidaten zu stimmen. Der Kandidat, auf den die meisten Stimmen entfallen, gewinnt die Wahl. Dieses Verfahren nennt sich "Wahl durch Zustimmung" und wird oft bei Wahlen an Hochschulen benutzt. Es weicht von den obigen insofern ab, als es auch eine (teilweise) Gleichbehandlung der Kandidaten zulässt. Um die Ausgangsdaten auch hier verwenden zu können, wird angenommen, das die Wähler zu 50% nur ihren Favoriten und zu 50% sowohl ihren Favoriten als auch ihre "2. Wahl" ankreuzen würden, müssten sie nach dem hier erwähnten Verfahren wählen. Dann ergibt sich das folgende Ergebnis:

A = 45,5 % A = 40 % A = 50,5 % A = 60 % A = 60 %
B = 53,5 % B = 46 % B = 49,5 % B = 68 % B = 57 %
C = 51 % C = 64 % C = 50 % C = 22 % C = 33 %
 
B gewinnt. C gewinnt. A gewinnt. B gewinnt. A gewinnt.

Wie man durch Vergleich erkennt, ist dieses Wahlverfahren ("Wahl durch Zustimmung") bei drei Kandidaten und der obigen Annahme für die Auswertung mit Wahlverfahren 7 ("Methode von Borda") identisch.

Man kann sich nun die interessante Frage stellen, in wie viel Prozent aller möglichen Wahlergebnisse derselbe Kandidat die Wahl gewinnt, wenn man zwei Wahlverfahren miteinander vergleicht. Vielleicht sind ja die oben aufgeführten Beispiele extreme Einzelfälle, die nur einen verschwindenden Bruchteil aller möglichen Wahlausgänge ausmachen. Dann wäre das Wahlergebnis nur unwesentlich vom verwendeten Wahlverfahren abhängig. Leider ist das nicht der Fall. Für die fünf einfachsten Wahlverfahren ist in der folgenden Aufstellung die Übereinstimmung (in Prozent) von je zwei Wahlverfahren aufgeführt:

Verfahren der meisten Erststimmen gegen Stichwahl zwischen den beiden mit den meisten Erststimmen: 87,7%
Verfahren der meisten Erststimmen gegen Verfahren der wenigsten Drittstimmen: 52,3%
Verfahren der meisten Erststimmen gegen Stichwahl zwischen den beiden mit den wenigsten Drittstimmen: 82,6%
Verfahren der meisten Erststimmen gegen Methode von Borda: 82,4%

Stichwahl zwischen den beiden mit den meisten Erststimmen gegen Verfahren der wenigsten Drittstimmen: 56,7%
Stichwahl zwischen den beiden mit den meisten Erststimmen gegen Stichwahl zwischen den beiden mit den wenigsten Drittstimmen: 89,5%
Stichwahl zwischen den beiden mit den meisten Erststimmen gegen Methode von Borda: 84,8%

Verfahren der wenigsten Drittstimmen gegen Stichwahl zwischen den beiden mit den wenigsten Drittstimmen: 63,9%
Verfahren der wenigsten Drittstimmen gegen Methode von Borda: 68,7%

Stichwahl zwischen den beiden mit den wenigsten Drittstimmen gegen Methode von Borda: 88,1%

Wenn man alle möglichen Wahlergebnisse, bei denen die Wähler jeweils ihren Favoriten und ihre "2. Wahl" bestimmt haben, vergleicht, liegt die Übereinstimmung also nur bei minimal 52,3% und maximal 89,5%.

Die große Bedeutung, die die Wahl eines Wahlverfahrens hat, kann also schon nachdenklich machen.


Links zum Thema:

Spektrum der Wissenschaft (September 2002): Wer wird Präsident?


Copyright © Werner Brefeld, 2005 ... 2017 (Originalquelle)

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