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Der Tangens der drei Innenwinkel im Dreieck

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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18. In einem Dreieck sei der Tangens der drei Inneninkel jeweils eine positive ganze Zahl. Wie lautet die einzige Lösung?

Wenn es überhaupt eine Lösung gibt, muss der Tangens des kleinsten Winkels gleich eins sein und der Winkel selber 45°. Wäre der Tangens nämlich 2, würde die Winkelsumme im Dreieck mehr als 180° betragen, weil arctan(2) = 63,435° ist. Einen weiteren Winkel mit 45° kann es nicht geben, weil für den übrig bleibenden Winkel von 90° der Tangens unendlich wäre. Der Tangens des zweitkleinsten Winkels kann aber auch nicht 3 oder mehr betragen, da der Winkel dann größer oder gleich 71,565° wäre und damit mehr als die Hälfte des übriggebliebenen Winkels von 135° betragen würde. Es kommt für den Tangens also nur der Wert 2 in Frage. Diese einzige Möglichkeit ist tatsächlich eine Lösung, wie man der Zeichnung entnehmen kann. Die Konstruktion ist so gewählt, dass α + β + γ = 180° und tan(α) = 2 ist. Da das linke und obere Dreieck ähnlich sind, erkennt man leicht, dass tan(β) = 1 und tan(γ) = 3 ist. Damit ist gezeigt, dass gilt:

arc tan(1) + arc tan(2) + arc tan(3) = 180°

Die Werte für die drei Innenwinkel betragen:

Kleinster Winkel:
β = 45,000°; tan(β) = 1

Mittlerer Winkel:
α = 63,435°; tan(α) = 2

Größter Winkel:
γ = 71,565°; tan(γ) = 3

tangens


Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass es dafür keine Lösung gebe. Selbst wenn man zwei Winkel so wählt, dass der Tangens ganzzahlig wird, so halten es viele für ausgeschlossen, dass der Tangens des dann nicht mehr frei wählbaren dritten Winkels auch noch ganzzahlig ist, weil der Tangens eines Winkels praktisch nie eine ganze Zahl ergibt.


Links zum Thema:

Jürgen Köller: Tangensfunktion


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