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Erbschaft und Stammbrüche

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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29. Ein reicher Geschäftsmann besaß 41 Firmen. In seinem Testament legte er fest, dass das älteste seiner drei Kinder die Hälfte seiner Firmen erben sollte, das zweitälteste ein Drittel und das jüngste ein Siebtel. Als der Vater starb, waren die Kinder ratlos, wie sie den Wunsch des Vaters erfüllen sollten, da sich 41 weder durch 2 noch durch 3 oder durch 7 teilen ließ. Sie fragten einen gemeinsamen Freund, der eine eigene Firma besaß, ob er ihnen nicht weiterhelfen könnte. Dieser sagte, dass er den Roman „Per Anhalter durch die Galaxis“ von Douglas Adams gelesen habe. Dort werde berichtet, dass nach den Berechnungen des Computers "Deep Thought" 42 die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest sei. Er machte deshalb den Vorschlag, bei der Aufteilung so zu tun, als wäre seine eigene Firma auch Teil der Erbschaft. Tatsächlich konnte das nun aus 42 Firmen bestehende Erbe zur vollen Zufriedenheit der Kinder aufgeteilt werden, ohne dass der Freund seine Firma abgeben musste. Wie war das möglich?

Nachdem die Erben die Firma ihres Freundes zur Ihrer Erbschaft hinzurechnen durften, standen 42 Firmen zur Verteilung zur Verfügung. Davon bekam das älteste Kind die Hälfte, also 21 Firmen und das zweitälteste ein Drittel oder 14 Firmen. Auf das jüngste Kind entfällt schließlich ein Siebtel der Erbschaft und deshalb bekam es 6 Firmen. Insgesamt erhielten die Kinder somit 41 Firmen. Die Firma des Freundes blieb übrig und er konnte sie deshalb behalten.

Das war nur deshalb möglich, weil der Vater sich verrechnet und nicht sein ganzes Erbe aufgeteilt hatte. Die Hälfte plus ein Drittel plus ein Siebtel ergeben nämlich nicht Eins, sondern:

1/2 + 1/3 + 1/7 = 21/42 + 14/42 + 6/42 = 41/42

Er hatte rechnerisch also nur 41/42 seiner 41 Firmen verteilt, was etwas mehr als 40 Firmen ausmacht. Damit trotzdem alle 41 Firmen unter den 3 Kindern aufgeteilt werden konnten, ohne dass sich die relativen Anteile zwischen den Erben ändern, musste so getan werden, als ob diese Firmen nur 41/42 des Erbes ausmachen würden. Nach dem Dreisatz kann man dann das "100%"-Erbe berechnen, von dem aber nur 41 Firmen verteilt zu werden brauchten:

41/42 entsprechen 41 Firmen.
1/42 entspricht dann 41 Firmen / 41 = 1 Firma.
42/42 oder 100% entsprechen schließlich 42 · 1 Firma = 42 Firmen.
Man muss also von einem scheinbaren Erbe von 42 Firmen ausgehen, damit die Aufteilung ohne Probleme funktioniert. Deshalb konnte der Freund ohne Risiko seine eigene Firma vorübergehend der Erbschaft zuschlagen.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass der gemeinsame Freund seine Firma opfern muss, um die Aufteilung zu ermöglichen. Das liegt daran, dass man oft schwer erkennen kann, ob die Summe von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern Eins ergibt.


Die Zahl 42 ist tatsächlich die größte Zahl, mit der Rätsel dieser Art formuliert werden können.

Um das zu beweisen und um auch die 6 anderen Aufteilungen zu finden, mit denen solche Rätsel funktionieren, muss man sich zunächst die Mathematik klarmachen, die hinter diesem Rätsel steckt.

Die Anteile der Erbschaft sollen offensichtlich immer Stammbrüche wie 1/2, 1/3, 1/4, usw. sein, wobei aber jedes Kind einen anderen Anteil bekommen soll. Andererseits soll sich aus den Stammbrüchen eine ganze Zahl der Dinge ergeben, die vererbt werden sollen. Schließlich soll nach dem Aufteilen genau ein Ding übrigbleiben, das ein Außenstehender ohne Risiko der zunächst nicht aufteilbaren Erbschaft hinzufügen kann. Damit ist der hinzugefügte Teil auch ein Stammbruch, dessen Nenner die gesuchte Gesamtzahl der Dinge ist. Und dieser Stammbruch kann höchstens so groß sein wie der Anteil eines der Kinder, weil sonst dieses Kind ja weniger als ein Ding bekäme.

Der Anteil eines Kindes muss 1/2 betragen, weil sonst die größte mögliche Summe 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/5 = 59/60 betrüge und somit kleiner als 1 wäre. Hierbei bezeichnen die jeweils ersten drei Stammbrüche die Anteile der Erben und der vierte Stammbruch ist der hinzugefügte Anteil einer außenstehenden Person. Der zweitgrößte Anteil eines Kindes kann nicht 1/6 oder weniger betragen, weil 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/7 ebenfalls kleiner als 1 ist. Von den dann noch möglichen Aufteilungen haben nur die folgenden 7 alle gewünschten Eigenschaften:

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1 (wird hier verwendet)
1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1 (wird verwendet beim Rätsel über den Araber, der seinen 3 Söhnen 17 Kamele vererbte)
1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1 (etwas langweilig, weil die letzten beiden Brüche gleich sind)

1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1 (nicht so gut geeignet, weil leicht durchschaubar)
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1 (nicht so gut geeignet, weil leicht durchschaubar)
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1 (nicht so gut geeignet, weil leicht durchschaubar)

Aus dem Nenner des jeweils vierten Stammbruchs erkennt man, dass Rätsel dieser Art nur mit den Zahlen 42, 24, 20, 18, 12 und 8 funktionieren.

Allerdings sind die drei letzten Aufteilungen nicht so gut geeignet, weil der Rätselleser schnell erkennen kann, dass nach den Anteilen 1/2 und 1/4 für den dritten Erben 1/4 übrigbleiben sollte. Er sieht also zu schnell, dass die drei Erbanteile zusammen nicht Eins ergeben können. Die vierte Aufteilung ist vielleicht etwas langweilig, weil der Anteil des dritten Erben genau so groß ist wie der Anteil, der von außen hinzugefügt werden muss. Deshalb sollte ein Rätsel dieser Art eines der drei ersten Aufteilungen verwenden. Das bekannte Rätsel über den alten Araber, der seinen drei Söhnen 17 Kamele vererbt, verwendet die dritte Aufteilung.


Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass bei nur einem Erben der Anteil 1/2 betragen müsste bei einer zu vererbenden Firma. Gäbe es zwei Erben, so wären deren Anteile entweder 1/2 und 1/3 oder 1/2 und 1/4. Im ersten Fall müsste die Erbschaft aus 5, im zweiten Fall aus 3 Firmen bestehen. Aber alle Aufteilungen für einen oder zwei Erben sind leicht zu durchschauen und deshalb als Rätsel ungeeignet. Würden in dem Rätsel dagegen nicht drei, sondern vier Erben vorkommen, dann gäbe es nicht 7, sondern schon 52 Aufteilungen, die man bei der Formulierung des Rätsels verwenden könnte.


Copyright © Werner Brefeld, 2008 ... 2017 (Originalrätsel)

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