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Lottosysteme, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

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Welches sind die besten Lottosysteme? Warum werden beim Lotto 6 aus 49 Kugeln gezogen?

Siehe dazu auch mein Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

Ein Lottosystem, bei dem eine bestimmte Anzahl Kugeln aus einer Menge von verschiedenen Kugeln gezogen werden, könnte man nach den folgenden vernünftigen Kriterien auswählen:

1. Die Anzahl der Lottokugeln sollte höchstens 100 betragen. Damit bleibt die Größe des Feldes übersichtlich, auf dem die Zahlen angekreuzt werden müssen.

2. Es sollten weniger als 10 Lottokugeln gezogen werden. Damit bleibt es möglich, sich die Gewinnzahlen zu merken.

3. In der höchsten Gewinnklasse sollte der Gewinn im Mittel mindestens das Millionenfache des Einsatzes, aber auch nicht wesentlich mehr betragen. Diese Summe reicht normalerweise aus, ein finanziell sorgenfreies Leben zu ermöglichen. Statt z.B. einen Gewinner mit dem Zehnmillionenfachen seines Einsatzes zu beglücken, sollte man besser mehreren Gewinnern ihre finanziellen Sorgen nehmen.

4. Andererseits sollte der Gewinn in der tiefsten Gewinnklasse möglichst hoch sein, mindestens jedoch das Dreifache des Einsatzes betragen. Dann bekommt man als Reingewinn mindestens das Doppelte des Einsatzes und die Enttäuschung wird vermieden, bei einem Gewinn kaum mehr als den Einsatz zurück zu erhalten.

5. Die Anzahl der richtigen Lottozahlen, bei der es noch keinen Gewinn gibt, sollte möglichst klein sein, also höchstens eins oder zwei betragen. Damit wird die Enttäuschung vermieden, trotz drei (oder mehr) richtiger Lottozahlen keinen Gewinn zu bekommen.

6. Die Gewinnchance von einer Gewinnklasse zu nächst tieferen sollte möglichst immer etwa um den gleichen Faktor steigen. Rechnet man jedoch die Gewinnchancen für verschiedene Lottosysteme in den verschiedenen Gewinnklassen aus, bemerkt man, dass der Unterschied zwischen der höchsten und der zweithöchsten Gewinnklasse deutlich größer ist als zwischen der zweittiefsten und tiefsten. Das kann man dadurch etwas ausgleichen, dass man zwischen der höchsten und der zweithöchsten Gewinnklasse eine Gewinnklasse mit einer Art Zusatzzahl einschiebt.

7. Die Höhe der Gewinne sollte in gleichem Maße steigen, wie die Gewinnchancen sinken. Damit kann man z.B. bei halber Gewinnchance einen doppelten Gewinn erwarten, was dem Gerechtigkeitsgefühl entspricht. Um dieses Kriterium zu erfüllen, muss für jede Gewinnklasse der gleiche Geldbetrag zum Verteilen zur Verfügung stehen.

8. Es sollte etwa fünf Gewinnklassen geben. Gibt es weniger Gewinnklassen, werden die Unterschiede zwischen den Gewinnen zu groß, gibt es mehr Gewinnklassen, dann wird die Liste mit den verschiedenen Gewinnen langsam unübersichtlich. Fünf Gewinnklassen würde bedeuten, dass z.B. 4 reguläre Lottokugeln und eine Lottokugel für eine Zusatzzahl gezogen werden. Beispielsweise gäbe es dann beim Lotto 7 aus 37 die Gewinnklassen 4 Richtige, 5 Richtige, 6 Richtige, 6 Richtige mit Zusatzzahl und 7 Richtige.

9. Mindestens die Hälfte des Geldes (besser deutlich mehr) sollte als Gewinn ausgezahlt werden. Damit wird vermieden, dass die Lottogesellschaft mehr am Lottospiel verdient, als die Lottospieler insgesamt wieder als Gewinne zurückbekommen.

Die letzten drei Kriterien bedeuten, dass für jede Gewinnklasse 10% des eingesetzten Geldes zur Verfügung stehen sollte. Damit in der höchsten Gewinnklasse dann im Mittel das Einmillionenfache bis höchstens das 1,5-Millionenfache des Einsatzes gezahlt werden kann, muss dort die Gewinnchance zwischen 1 : 10 Millionen und 1 : 15 Millionen liegen. Unter Berücksichtigung auch der ersten drei Kriterien wären folgende Lottosysteme geeignet:

Lotto 9 aus 29, Lotto 9 aus 30, Lotto 8 aus 32, Lotto 8 aus 33, Lotto 7 aus 37, Lotto 7 aus 38, Lotto 6 aus 47
Lotto 6 aus 48, Lotto 6 aus 49, Lotto 5 aus 68, Lotto 5 aus 69, Lotto 5 aus 70, Lotto 5 aus 71, Lotto 5 aus 72

Die entsprechenden Gewinnchancen errechnet man folgendermaßen (Beispiel Lotto 6 aus 49):
Gewinnchance: 1 : (496) = 1 : (49! / (6! · 43!)) = 1 : 13.983.816

Aus den Kriterien 5 und 8 folgt weiter, dass mindestens 4 und höchstens 6 Lottokugeln (plus der Lottokugel für eine Zusatzzahl) gezogen werden sollten. Eine Ziehung von 4 regulären Kugeln unter höchstens 100 Kugeln ergibt aber zu geringe Gewinne in der höchsten Gewinnklasse. Bei einer Ziehung von 5 regulären Kugeln wird in der tiefsten Gewinnklasse nicht einmal der dreifache Einsatz als Gewinn erzielt. Übrig bleiben also in der Liste nur die Ziehungen von 6 regulären Kugeln. Unter diesen 3 Lottosystemen erzielt Lotto 6 aus 49 den höchsten Gewinn in der tiefsten Gewinnklasse.

Demnach erfüllt das Lottosystem 6 aus 49 (incl. 5 Richtige mit Zusatzzahl) alle neun oben genannten Kriterien am besten. Durch die Gewinnklassen "mit Superzahl" werden allerdings die Kriterien 3, 7 und 8 leider verletzt.


Wichtig: Die Gewinnwahrscheinlichkeit für jeden Lotto-Tipp ist übrigens immer exakt gleich groß, egal, welche Lottozahlen man ankreuzt. Und da ein Lotto-System-Tipp nichts anderes ist als eine bestimmte Anzahl genau definierter Lotto-Einzel-Tipps, ist es auch völlig gleichgültig, ob man mit Systemscheinen spielt oder mit der entsprechenden Anzahl von Normalscheinen. Allerdings kann man mit der richtigen Tipp-Strategie überdurchschnittliche Lottoquoten erzielen. Leider wird man trotzdem im Mittel mehr verlieren als gewinnen.


Wahrscheinlichkeiten pro Lotto-Tipp für Lotto 6 aus 49:

6 Richtige:(66) · (430) / (496)= 1 / 13983816 = 1 : 13983816=   0,000007%
6 R. ohne Superzahl:0,9 · (66) · (430) / (496) = 9 / 139838160= 1 : 15537573=   0,000006%
6 R. mit Superzahl:0,1 · (66) · (430) / (496) = 1 / 139838160= 1 : 139838160=   0,000001%
5 Richtige:(65) · (431) / (496)= 258 / 13983816 = 1 : 54200,837=   0,001845%
5 R. ohne Superzahl:0,9 · (65) · (431) / (496) = 2322 / 139838160= 1 : 60223,152=   0,001660%
5 R. mit Superzahl:0,1 · (65) · (431) / (496) = 258 / 139838160= 1 : 542008,37=   0,000184%
4 Richtige:(64) · (432) / (496)= 13545 / 13983816 = 1 : 1032,40=   0,097%
4 R. ohne Superzahl:0,9 · (64) · (432) / (496) = 121905 / 139838160= 1 : 1147,11=   0,087%
4 R. mit Superzahl:0,1 · (64) · (432) / (496) = 13545 / 139838160= 1 : 10324,0=   0,010%
3 Richtige:(63) · (433) / (496)= 246820 / 13983816 = 1 : 56,656=   1,765%
3 R. ohne Superzahl:0,9 · (63) · (433) / (496) = 2221380 / 139838160= 1 : 62,951=   1,589%
3 R. mit Superzahl:0,1 · (63) · (433) / (496) = 246820 / 139838160= 1 : 566,56=   0,177%
2 Richtige:(62) · (434) / (496)= 1851150 / 13983816 = 1 : 7,5541= 13,238%
2 R. ohne Superzahl:0,9 · (62) · (434) / (496) = 16660350 / 139838160= 1 : 8,3935= 11,914%
2 R. mit Superzahl:0,1 · (62) · (434) / (496) = 1851150 / 139838160= 1 : 75,541237=   1,324%
1 Richtiger:(61) · (435) / (496)= 5775588 / 13983816 = 1 : 2,4212= 41,302%
1 R. ohne Superzahl:0,9 · (61) · (435) / (496) = 51980292 / 139838160= 1 : 2,6902= 37,172%
1 R. mit Superzahl:0,1 · (61) · (435) / (496) = 5775588 / 139838160= 1 : 24,212=   4,130%
0 Richtige:(60) · (436) / (496) = 6096454 / 13983816= 1 : 2,2938= 43,596%
0 R. ohne Superzahl:0,9 · (60) · (436) / (496) = 54868086 / 139838160= 1 : 2,5486= 39,237%
0 R. mit Superzahl:0,1 · (60) · (436) / (496) = 6096454 / 139838160= 1 : 22,938=   4,360%
mind. 3 Richtige: (1+258+13545+246820) / (496)= 260624 / 13983816 = 1 : 53,655=   1,864%
mind. 2 R. mit SZ:= 4457390 / 139838160 = 1 : 31,372=   3,188%
mind. 1 Richtigen:((496) – (436)) / (496) = 7887362 / 13983816= 1 : 1,7729= 56,404%


Die Wahrscheinlichkeiten für z.B. 3 Richtige gelten für den Fall, dass die Superzahl keine Rolle spielt. Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Möglichkeiten bei Lotto 6 aus 49 findet man auf der Web-Seite mit den Stochastik-Formeln (Beispiele 1, 3, 5, 21 und 22). Im Beispiel 21 wird u.a. die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass bei einer Lottoziehung eine Serie von 5 aufeinanderfolgenden Lottozahlen gezogen wird. Bisher gab es zwei Fälle dieser Art: Am 10.4.1999 (Lottozahlen: 2, 3, 4, 5, 6 und 26) und am 30.7.2014 (Lottozahlen: 9, 10, 11, 12, 13 und 37).


Am Ende der Web-Seite Geburtstag am gleichen Tag wird ausgerechnet, nach wie vielen Ziehungen bei Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal größer als 50% ist, dass mindestens zweimal die gleichen 6 Zahlen gezogen worden sind oder dass sogar mindestens zweimal direkt nacheinander die gleichen 6 Zahlen gezogen worden sind. Den ersten Fall hat es in Deutschland tatsächlich schon gegeben. Sowohl am 20.12.1986 als auch am 21.06.1995 wurden die Zahlen 15, 25, 27, 30, 42 und 48 gezogen.

Die Gewinnchancen und die theoretischen Gewinnquoten für europäische Lotto-Spiele findet man auf den Web-Seiten EuroJackpot und EuroMillions. Allerdings erfüllen diese beiden Lotto-Spiele nicht alle oben aufgestellten Kriterien.

Zum Schluss noch eine sehr interessante Frage zu Lotto 6 aus 49:

Wie viele Lottofelder muss man bei optimal verteilten Zahlen mindestens ankreuzen, um bei einer Ziehung mindestens einmal 6 Richtige, 5 Richtige, 4 Richtige usw. zu erzielen?

Erstaunlich ist, dass diese Mindestanzahl an Lottofeldern teilweise noch unbekannt ist. Das entsprechende mathematische Problem konnte bisher noch nicht für jeden Fall gelöst werden. Für jeden Hinweis, der die Mindestanzahl weiter eingrenzt, bin ich deshalb dankbar:

6 Richtige: Man muss mindestens 13.983.816 Lottofelder ausfüllen.
Alle 13.983.816 Lotto-Kombinationen müssen genau einmal vorkommen, um immer genau einmal 6 Richtige zu erzielen.
Dafür braucht man 13.983.816 Lottofelder.

5 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 53.992 und kleiner oder gleich 1.712.304.
Die Zahl 53.992 ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Richtige von 1 : 53.991,57.
Bei mindestens 5 Richtigen reicht auf jeden Fall eine Anzahl von Lottofeldern, die der Anzahl der Kombinationen von 5 aus 48 entspricht.

4 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 1014 und kleiner oder gleich 6452.
Die Zahl 1014 ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Richtige von 1 : 1013,03.
Mit diesen 6452 geschickt ausgefüllten Lottofeldern erzielt man immer mindestens einmal 4 Richtige.

3 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 85 und kleiner oder gleich 163.
Mit diesen 163 geschickt ausgefüllten Lottofeldern erzielt man immer mindestens einmal 3 Richtige.

2 Richtige: Die Mindestanzahl der auszufüllenden Lottofelder ist auf jeden Fall größer oder gleich 8 und kleiner oder gleich 19.
Bei einer Ziehung werden ja 43 Lottozahlen nicht gezogen. Man muss also mindestens 45 verschiedene Lottozahlen auf die Lottofelder verteilen,
um eventuell mindestens zwei Richtige zu erzielen. Dafür braucht man 8 Lottofelder.
Mit diesen 19 geschickt ausgefüllten Lottofeldern erzielt man immer mindestens einmal 2 Richtige.

1 Richtiger: Man muss mindestens 8 Lottofelder ausfüllen.
Bei einer Ziehung werden ja 43 Lottozahlen nicht gezogen. Man muss also mindestens 44 verschiedene Lottozahlen auf die Lottofelder verteilen,
um mindestens eine Lottozahl richtig zu haben. Dafür braucht man mehr als 7 Lottofelder. 8 Lottofelder reichen aber immer.


Copyright © Werner Brefeld, 1999 ... 2017 (Originalquelle)

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