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Lotto 6 aus 49 und die Strategie für überdurchschnittliche Lottoquoten

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

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lottofeld

Mit welchen Lottozahlen erzielt man im Mittel überdurchschnittliche Lottoquoten beim Lotto 6 aus 49?
Welches sind die unbeliebtesten Lottozahlen?

Siehe dazu auch mein Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

Am Ende dieser Seite: Unbeliebte und beliebte Superzahlen!

Für Interessierte: Unbeliebte und beliebte Zahlen bei EuroJackpot und EuroMillions

Zunächst soll einem verbreiteten Irrglauben entgegengewirkt werden. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Lotto-Tipp einen Lottogewinn zu erzielen, kann man nicht durch das Ankreuzen bestimmter Lottozahlen erhöhen! Eine Lottokugel hat nämlich weder ein Bewusstsein noch ein Gedächtnis und "weiß" deshalb nicht, ob ihre Lottozahl aus der Sicht der Menschen eine Glückszahl ist oder ob sie in der Vergangenheit zu selten gezogen worden ist, also einen Rückstand hat. Nach 4900 Lottoziehungen ist z.B. jede der 49 Lottozahlen im Mittel genau 600-mal gezogen worden. Angenommen, eine Lottozahl sei darunter, die durch Zufall 60-mal weniger, also nur 540-mal gezogen worden ist. Wie gleicht nun diese Lottokugel ihren zufällig entstandenen Rückstand von 10% wieder aus, obwohl sie nichts davon weiß. Tatsächlich wird sie in Zukunft im Mittel genauso häufig gezogen werden wie die anderen. Wenn alle Lottozahlen also im Mittel 1200-mal gezogen worden sind, wird diese eine im Mittel 1140-mal gezogen worden sein. Sie ist also immer noch 60-mal seltener gezogen worden. Allerdings liegt sie nun nicht mehr 10%, sondern nur noch 5% zurück. Obwohl sie also nicht häufiger gezogen worden ist als die anderen Lottozahlen, ist der wichtige und entscheidende prozentuale Abstand kleiner geworden! So gleicht der Zufall also zufällig entstandene Unterschiede wieder aus!


Dazu stelle ich eine kleine Auswertung der ersten eben erwähnten 4900 Lottoziehungen vor. Sie wurden am 16. Oktober 2010 erreicht. Jede Zahl sollte zu diesem Zeitpunkt im Mittel also 600-mal gezogen worden sein. Mit etwas Mathematik kann man ausrechnen, wie viele Lottozahlen wie weit von diesem Mittelwert abweichen sollten, wenn nur der Zufall regiert. Die folgende Zusammenstellung zeigt, wie viele Lottozahlen in welchen Häufigkeitsintervallen liegen sollten. In Klammern steht die tatsächlich gezogene Anzahl:

554-mal oder seltener: etwa 1 Lottozahl (1)
555-mal bis 577-mal: etwa 7 Lottozahlen (7)
578-mal bis 622-mal: etwa 33 Lottozahlen (32)
623-mal bis 645-mal: etwa 7 Lottozahlen (8)
646-mal oder häufiger: etwa 1 Lottozahl (1)

Man sieht, dass der Zufall ziemlich große Abweichungen erzeugt, und dass die tatsächlichen Lottoziehungen sich sehr gut nur mit dem Zufall erklären lassen. Nur wenn die tatsächlichen Anzahlen deutlich von den erwarteten abweichen würden, sollte mit den Lottoziehungen etwas nicht stimmen.

Die Gewinnchance pro Tipp kann man also beim Lotto nicht erhöhen. Anders sieht es mit der Lottoquote aus, die man erhält, wenn man denn einmal gewonnen hat. In jeder Gewinnklasse wird nämlich ein bestimmter fester Anteil der gesamten Einspielsumme verteilt. Wenn also viele Lottospieler mindestens drei der gezogenen Lottozahlen angekreuzt haben, wird das Geld unter entsprechend mehr Leuten aufgeteilt. Damit sinkt die Lottoquote, die jeder Lottospieler erhält. Es kommt also darauf an, solche Lottozahlen anzukreuzen, die von den Mitspielern eher gemieden werden. Dann wird die Geldsumme im Falle eines Gewinnes auf weniger Lotto-Tipps verteilt und die Lottoquote steigt.

Wichtig: Leider kommt man auch durch das Ankreuzen der bei den Mitspielern unbeliebten Lottozahlen im Mittel nicht in die Gewinnzone. Während alle Lottospieler durchschnittlich von jedem eingesetzten Euro etwa 50 Cent zurückbekommen, bekommt der geschickt ankreuzende Lottospieler über alle Gewinnklassen gemittelt etwa 75 Cent zurück. Die Beliebtheit der Lottozahlen ist leider nicht unterschiedlich genug, damit man im Mittel mehr Geld zurückbekommt als man eingesetzt hat. Wäre es anders, dann gäbe es diese Web-Seite nicht und ich würde anfangen Lotto zu spielen.

Aber selbst wenn man im Mittel mehr Geld zurück bekäme als man eingesetzt hat, gibt es noch einen Haken. Da man selber nur ein Leben hat, der eben erwähnte Mittelwert aber für viele geschickte Spieler gilt, spielt noch die Wahrscheinlichkeit eine große Rolle, mit der man selber diesen Mittelwert tatsächlich erreichen oder übertreffen würde. Diese Wahrscheinlichkeit ist aber verschwindend gering, weil ja alle Gewinnklassen zum Mittelwert beitragen, man selber aber einen Gewinn in den obersten 3 Gewinnklassen mit größter Wahrscheinlichkeit nie bekommen wird.

Man kann also durch das Ankreuzen von unbeliebten Lottozahlen nur seine mittleren Verluste verringern. Deshalb sollte man auch nur dann Lotto spielen, wenn man das entsprechende Geld übrig hat, wenn man also nicht auf die Gewinne angewiesen ist, und wenn der Spaß am Lotto-Spiel größer ist als der Frust über das verspielte Geld. Diese Bedingung ist normalerweise überhaupt nur bei sehr kleinen Geldbeträgen und sehr wenigen Einzel-Tipps (!) erfüllt. Damit man auch jederzeit ohne Probleme mit dem Lottospielen aufhören kann, sollte man häufig seine Lottozahlen wechseln, weil man sich sonst immer an die in der Vergangenheit getippten Zahlen erinnern würde.


Wie findet man nun heraus, welche Zahlen unbeliebte Lottozahlen sind? Dazu berechnet man zunächst die theoretischen Lottoquoten für jede Gewinnklasse unter Verwendung der jeweiligen Gewinnwahrscheinlichkeiten (siehe Web-Seite über Lottosysteme). Diese Lottoquoten würden sich ergeben, wenn alle 139.838.160 möglichen Lotto-Tipps gleich häufig abgegeben worden wären. In die Berechnung geht ein, dass nur 50% der Einspielsumme wieder ausgeschüttet wird. Außerdem muss die Aufteilung der ausgeschütteten Summe auf die verschiedenen Gewinnklassen berücksichtigt werden. Auf die Gewinnklasse 1 (6 Richtige mit Superzahl) entfallen dabei 12,8%. Bei der Gewinnklasse 9 (2 Richtige mit Superzahl) gibt es eine festgelegte Gewinnquote von 5 Euro, die deshalb auch gleichzeitig die theoretische Gewinnquote darstellt. Daraus ergibt sich für diese Gewinnklasse ein mittlerer Anteil von 13,237.803% der ausgeschütteten Summe. Die restlichen 73,962.197% werden mit unterschiedlichen Anteilen auf die übrigen Gewinnklassen aufgeteilt. Weiterhin spielen die Wahrscheinlichkeiten eine Rolle, mit der ein Lotto-Tipp in den verschiedenen Gewinnklassen einen Gewinn erzielt. Je kleiner die Wahrscheinlichkeit, desto größer die theoretische Gewinnquote. Und schließlich ist natürlich auch der Preis pro Lotto-Tipp wichtig. Die Berechnung der theoretischen Lottoquoten sieht dann so aus:

Gewinnklasse 1 (6 Richtige mit Superzahl): 50% · 12,800000% · 139.838.160 · 1€ = 8.949.642,20 €
Gewinnklasse 2 (6 Richtige ohne Superzahl): 50% · 73,962197% · 10% · 15.537.573 · 1€ = 574.596,52 €
Gewinnklasse 3 (5 Richtige mit Superzahl): 50% · 73,962197% · 5% · 542.008,4 · 1 € = 10.022,03 €
Gewinnklasse 4 (5 Richtige ohne Superzahl): 50% · 73,962197% · 15% · 60.223,2 · 1€ = 3340,68 €
Gewinnklasse 5 (4 Richtige mit Superzahl): 50% · 73,962197% · 5% · 10.324,0 · 1€ = 190,90 €
Gewinnklasse 6 (4 Richtige ohne Superzahl): 50% · 73,962197% ·10% · 1147,11 · 1€ = 42,42 €
Gewinnklasse 7 (3 Richtige mit Superzahl): 50% · 73,962197% · 10% · 566,56 · 1€ = 20,95 €
Gewinnklasse 8 (3 Richtige ohne Superzahl): 50% · 73,962197% · 45% · 62,951 · 1€ = 10,48 €
Gewinnklasse 9 (2 Richtige mit Superzahl): 50% · 13,237803% · 75,541237 · 1€ = 5,00 €

Liegen die tatsächlichen Lottoquoten einer Lottoziehung über diesen theoretischen Werten, müssen sich unter den gezogenen Lottozahlen welche befinden, die unbeliebt sind und deshalb von den Spielern gemieden werden. Die Methode zur Berechnung der Beliebtheit und Unbeliebtheit der Lottozahlen wird weiter unten erläutert. Für die Berechnung wurden die 209 Lottoziehungen verwendet, die von Anfang 2015 bis Ende 2016 in Deutschland stattgefunden haben. Das unten in der Tabelle aufgeführte Ergebnis der Rechnung spiegelt damit das Verhalten der Lottospieler über einen Zeitraum von knapp zwei Jahren wieder. Für beliebte Zahlen ist die Beliebtheit größer als 1, für unbeliebte Zahlen liegt sie unterhalb von 1.

Und hier sind alle Lottozahlen mit ihrer Beliebtheit:


LottozahlBeliebtheitLottozahlBeliebtheit LottozahlBeliebtheitLottozahlBeliebtheit
150.797480.900380.984251.124
350.807210.901410.988  51.129
430.813200.911  81.011  41.144
460.814470.915  21.014171.151
360.815  10.923311.026  61.160
440.824490.934231.033241.160
290.848300.942131.043321.170
140.857370.943271.068101.195
450.857390.960181.068191.210
280.865340.963331.086  31.237
220.889400.965261.109111.272
420.898160.976121.120  71.276
  91.313

Im obigen Lottofeld sind unbeliebte Zahlen grün und beliebte Zahlen rot markiert. Besonders hervorgehoben sind unbeliebte Zahlen mit einer Beliebtheit von weniger als 0,9 und beliebte Lottozahlen, deren Beliebtheit über 1,1 liegt. Die beliebtesten Lottozahlen sind die 9 und die Glückszahl 7. Sie werden etwa 31% bzw. 28% häufiger angekreuzt als dem Zufall entspricht. Danach folgen die 11 und die 3 mit einer um etwa 27% bzw. 24% erhöhten Beliebtheit. An fünfter und sechster Stelle kommen die 19 und die 10. Diese 6 Lottozahlen sollte man auf keinen Fall auswählen, wenn man im Falle eines Gewinns eine niedrige Lottoquote vermeiden möchte.

Das Lottofeld sieht aus, als habe jemand einen "Brief" geschrieben. Oben befindet sich "Ort" und "Datum", in der zweiten Zeile folgt die "Anrede", dann der "Text", schließlich der "Gruß" und darunter die "Unterschrift". Bis auf die 8 und die Glückszahl 7 bleibt der linke und rechte Rand frei, damit der "Brief" ordentlich aussieht. Die letzte Zeile bleibt bis auf die 49 ebenfalls frei, weil schon vorher alle Kreuzchen verbraucht worden sind. Schließlich darf der "Brief" ja nur 6 "Sätze" lang sein.

Man sollte nur unbeliebte Lottozahlen ankreuzen, wenn man im Mittel eine überdurchschnittliche Lottoquote erzielen möchte. Dabei sollte man allerdings darauf achten, dass die sechs ausgesuchten Lottozahlen kein geometrisches oder arithmetisches Muster bilden! Denn solche Muster sind bei vielen Lottospielern beliebt und führen trotz der angekreuzten unbeliebten Lottozahlen zu schlechten Quoten. Außerdem sollte man nicht gerade die sechs unbeliebtesten Lottozahlen aus meiner Tabelle tippen. Auf diese Idee könnten nämlich auch noch weitere Leser dieser Web-Seite kommen. Die Enttäuschung im Falle von 6 Richtigen wäre dann groß.


Man kann mathematisch zeigen, dass zur Berechnung der Beliebtheit der Lottozahlen pro Ziehung in guter Näherung eine Gleichung gilt, die die Beliebtheit der jeweiligen Ziehung als eine Art Produkt der gesuchten Beliebtheit der entsprechenden Lottozahlen ausdrückt. Die Beliebtheit einer Ziehung ist gleich dem Verhältnis aus theoretischer und tatsächlicher (aus der Zahl der Gewinner und der abgegebenen Tipps genau berechneten) Lottoquote. Die Beliebtheit einer Lottozahl ist der Faktor, mit dem die entsprechende Lottozahl häufiger angekreuzt wird als nach dem Zufall zu erwarten wäre.

Eine Gleichung reicht natürlich nicht aus, um die Beliebtheit der 49 Lottozahlen zu bestimmen. Verwendet man allerdings 49 Lottoziehungen, so hat man ein System von 49 Gleichungen mit 49 Unbekannten, das meistens lösbar ist. Überlagert wird die Beliebtheit der einzelnen Lottozahlen allerdings von der Vorliebe vieler Lottospieler für geometrische und arithmetische Muster. Ein geometrisches Muster entsteht beispielsweise, wenn die angekreuzten Lottozahlen auf dem Lottoschein eine Diagonale bilden. Wegen dieser Vorliebe ergeben sich schlechtere Lottoquoten, wenn solche Muster gezogen werden, auch wenn die einzelnen Lottozahlen des Musters nicht besonders beliebt sind. Damit diese gelegentlich auftretenden Effekte die Werte für die Beliebtheit der einzelnen Lottozahlen nicht zu sehr verfälschen, wurden für die Rechnung, die der Tabelle oben zugrunde liegt, nicht nur 49, sondern 209 Lottoziehungen verwendet. Da die Änderung des Tippverhaltens der Lottospieler während des entsprechenden Zeitraums von knapp zwei Jahren relativ gering ist, entsteht daraus kein nennenswertes Problem. Da außerdem das Tippverhalten eines Spielers natürlich nicht davon abhängen kann, wie viele Richtige er erzielt hat, wurden für die Berechnung nur die Ergebnisse für 3 Richtige ohne Superzahl benutzt. Auch dadurch wird der Einfluss eines eventuellen Musters der Lottozahlen verringert. Es gewinnen in dieser Klasse ja alle Spieler, die nur 3 Lottozahlen des Musters richtig getippt haben. Ein weiterer Vorteil der Verwendung der Ergebnisse für 3 Richtige ohne Superzahl ist der kleine statistische Fehler aufgrund der großen Zahl der Gewinner.

Lottospieler, die 3 Richtige ohne Superzahl erzielt haben, haben 3 richtige und 3 falsche Zahlen angekreuzt. Deshalb wird in jeder dieser 209 Gleichungen die Beliebtheit der Ziehung als Produkt der Beliebtheit von 3 richtigen und 3 falschen Lottozahlen ausgedrückt. Nun gibt es aber 6 gezogene (richtige) Lottozahlen und 43 nicht gezogene (falsche) Lottozahlen. Die 6 richtigen Lottozahlen müssen sich also die 3 Faktoren für die Beliebtheit der richtigen Lottozahlen und die 43 falschen Lottozahlen die 3 Faktoren für die Beliebtheit der falschen Lottozahlen teilen. Die Beliebtheit der 6 richtigen Lottozahlen muss deshalb mit der dritten Potenz der 6sten Wurzel, die der 43 falschen Lottozahlen mit der dritten Potenz der 43sten Wurzel auftauchen. Ein Gleichungssystem mit 209 Gleichungen und 49 Unbekannten ist natürlich überbestimmt. Deshalb wurden die Ergebnisse für die Beliebtheit der einzelnen Lottozahlen durch etwa 1000 Iterationen bestimmt. Dazu wurden zu Anfang alle Beliebtheitswerte der Lottozahlen auf 1 gesetzt und mit der Beliebtheit der jeweiligen Ziehungen verglichen. Die daraus gewonnenen Korrekturfaktoren wurden nun entsprechend der Häufigkeit der jeweiligen Lottozahlen normiert und daraus die iterierte Beliebtheit der Lottozahlen bestimmt. Diese sind dann die Startwerte für die nächste Iteration.


Unbeliebte und beliebte Superzahlen

Genauso wie bei der Auswahl der Lottozahlen kommt es auch bei den Superzahlen darauf an, nur die Tippscheine mit den Superzahlen zu verwenden, die von den Mitspielern eher gemieden werden. Dadurch würde im Falle eines Gewinnes zum Beispiel in der Gewinnklasse "6 Richtige mit Superzahl" die Zahl der Mitgewinner im Mittel noch weiter verringert. Oft bekäme man sogar den Jackpot ganz alleine.

Für die Berechnung der Beliebtheit der Superzahlen wurden die 209 Lottoziehungen verwendet, die von Anfang 2015 bis Ende 2016 stattgefunden haben. Dabei wurde für jede Superzahl die Anzahl der Gewinner ermittelt, die sowohl genau drei Lottozahlen als auch die Superzahl richtig hatten. Diese Zahlen wurden jeweils durch die Anzahl aller Gewinner dividiert, die bei der Ziehung der entsprechenden Superzahl drei Lottozahlen richtig hatten. Das Zehnfache dieser Quotienten ergibt dann die entsprechende Beliebtheit.

Hier sind die 10 Superzahlen mit ihrer Beliebtheit:

SuperzahlBeliebtheit
00,788
10,870
20,920
90,970
40,972
31,049
61,058
81,065
51,142
71,158

Wie man erkennt, ist die 0 die unbeliebteste Superzahl. Sie sollte man auswählen, um möglichst wenige oder gar keine Mitgewinner zu haben. Sollte man sich dazu nicht entschließen können, dann sollte man wenigstens die ausgesuchtete Superzahl nicht auch noch als Lottozahl ankreuzen. Das machen nämlich viele Spieler. Die beliebteste Superzahl ist die Glückszahl 7. Tippscheine mit dieser Zahl sollten Sie auf jeden Fall meiden. Übrigens ist mittwochs die Chance größer als samstags, im Gewinnfall den Jackpot ganz alleine zu bekommen, weil mittwochs wesentlich weniger Leute Lotto spielen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Superzahl mit einer der 6 Lottozahlen übereinstimmt, beträgt übrigens 6/49 · 9/10 = 27/245 = 11,02%. So ein Fall tritt also im Durchschnitt etwa alle 9 Ziehungen auf.

In der folgenden Abbildung sind unbeliebte Zahlen grün und beliebte Zahlen rot markiert. Besonders hervorgehoben sind unbeliebte Superzahlen mit einer Beliebtheit von weniger als 0,9 und beliebte Superzahlen, deren Beliebtheit über 1,1 liegt.

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Copyright © Werner Brefeld, 1979 ... 2017 (Originalquelle)

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