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Einzelwahrscheinlichkeiten beim Kniffel

Fragen und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de, Adresse: siehe Impressum, Themenübersicht auf der Hauptseite:

Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


Vorbemerkungen


Diese Web-Seite enthält die Berechnungen und Erläuterungen für die auf der Kniffel-Seite aufgelisteten Einzelwahrscheinlichkeiten sowohl der optimalen Strategie
als auch (am Ende der Seite) von einigen alternativen Strategien.

Gruppenbildung für die Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

Es gibt meistens nicht nur eine Möglichkeit, wie man die Würfelergebnisse in Gruppen aufteilen kann. Allerdings muss die Auswahl der Gruppen 2 wichtige Bedingungen erfüllen:

Erstens muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten, von einer bestimmten Gruppe durch Würfeln zu den verschiedenen dann möglichen Gruppen zu gelangen, gleich 100% sein.
Wenn also z.B. beim Full House nach dem ersten Wurf aus der Gruppe "Einlinge" eine der Gruppen "Full House", "2 Zwillinge", "Drilling oder Vierling", "Kniffel", "Zwilling" oder "Einlinge"
erreicht werden soll, dann muss die Summe dieser Einzelwahrscheinlichkeiten 100% betragen:

50/1296 + 300/1296 + 225/1296 + 1/1296 + 600/1296 + 120/1296 = 1296/1296 = 100%

Zweitens muss die Wahrscheinlichkeit für jedes Würfelergebnis einer Gruppe, durch Würfeln eine weitere bestimmte Gruppe zu erreichen, exakt gleich groß sein.

Wenn man beim Full House z.B. von der Gruppe "Drilling oder Vierling" zur Gruppe "Full House" gelangen will, dann leuchtet unmittelbar ein, dass das für alle Drillinge
gleich wahrscheinlich ist. Aber auch für die Vierlinge ist die Wahrscheinlichkeit genau so groß, weil ja vor dem zweiten Wurf die Vierlinge entsprechend den Regeln
für die optimale Strategie auf Drillinge reduziert werden müssen.

Die Berechnung für den Kniffel sind in 5 Gruppen (Kniffel, Vierling, Drilling, Zwilling, Einlinge) eingeteilt.
Beim Full House sind es 6 Gruppen, bei der großen und kleinen Straße jeweils 7. Man kann tatsächlich die Berechnung nicht mit weniger Gruppen machen.
Wenn man diese minimale Einteilung von Gruppen wählt, muss man auch genau die auf meiner Kniffel-Web-Seite definierten Gruppen nehmen.


Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten

Zur Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten ist es meistens sinnvoll, die Anzahl der günstigen Variationen (mit Wiederholung) zu bestimmen und diese dann durch die Gesamtzahl
der Variationen (mit Wiederholung) zu teilen. Nur die Variationen sind für diese Berechnung geeignet, weil sie im Gegensatz zu den Kombinationen gleich wahrscheinlich sind.
Wenn die direkte Bestimmung der günstigen Variationen nicht möglich ist, muss man sie als Produkt aus Kombinationen und Permutationen berechnen.



Einzelwahrscheinlichkeiten für einen Kniffel


Kniffel in maximal 3 Würfen (p1, 1. Faktor, 6/7776)

Der Faktor 6/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Kniffel zu erzielen.

Für einen Kniffel gibt es die 6 Möglichkeiten (Kombinationen) 11111, 22222, 33333, 44444, 55555 und 66666. Und für jede dieser Kombinationen gibt es nur 5! / 5! = 1 Permutation (mit Wiederholung).

Insgesamt kommt man also auf 6 · 1 = 6 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 6/7776.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p2, p3, 1. Faktor, 150/7776)

Der Faktor 150/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Vierling zu erzielen.

Für einen Vierling gibt es die 6 Möglichkeiten (Kombinationen) 1111, 2222, 3333, 4444, 5555 und 6666. Für den fünften Würfel bleiben dann noch jeweils 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Zusammen sind das 6 · 5 = 30 Kombinationen. Wegen des Vierlings gibt es für jede Kombination noch 5! / 4! = 5 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung).

Insgesamt kommt man also auf 30 · 5 = 150 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 150/7776.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p3, 2. Faktor, 5/6)

Der Faktor 5/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch nach dem zweiten Wurf wieder nur ein Vierling vorhanden ist.

Man würfelt im zweiten Wurf ja nur noch mit dem Würfel, der nicht zum Vierling gehört. Dabei darf man aber die Augenzahl des schon vorhandenen Vierlings nicht treffen.
Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen), aber jeweils nur eine Permutation.

Man kommt also auf 5 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 5/6.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p4, p5, p6, 1. Faktor, 1500/7776)

Der Faktor 1500/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Drilling oder ein Full House zu erzielen.

Für einen reinen Drilling (also ohne zusätzlichen Zwilling) gibt es die 6 Möglichkeiten (Kombinationen) 111, 222, 333, 444, 555 und 666.
Bei jeder dieser Kombinationen müssen die beiden übrigen Würfel eine der übrigen 5 Augenzahlen haben und diese beiden Augenzahlen müssen verschieden sein.
Dafür gibt es (52) = 10 Kombinationen. Zusammen sind das 6 · 10 = 60 Kombinationen.
Für jede dieser 60 Kombinationen gibt es dann wegen des Drillings noch 5! / 3! = 20 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen). Damit gibt es hier also 60 · 20 = 1200 günstige Variationen.

Für ein Full House gibt es neben den eben erwähnten 6 Kombinationen für einen Drilling noch 5 Möglichkeiten für den zusätzlichen Zwilling. Das sind zusammen 6 · 5 = 30 Kombinationen.
Und wegen des Drillings und Zwillings gibt es dann noch jeweils 5! / (3!·2!) = 10 Permutationen (mit Wiederholung). Damit ergeben sich hier 30 · 10 = 300 günstige Variationen.

Zusammen kommt man also auf 1200 + 300 = 1500 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 1500/7776.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p5, 2. Faktor, 10/36)

Der Faktor 1500/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf aus einem Drilling ein Vierling zu machen.

Es wird mit zwei Würfeln weiter gewürfelt. Mit dem einem Würfel muss man die Augenzahl des Drillings treffen (1 Möglichkeit) und mit dem anderen Würfel
eine der anderen 5 Augenzahlen (5 Möglichkeiten). Daraus ergeben sich 1 · 5 = 5 Kombinationen. Zu jeder Kombination gibt es wegen der 2 Würfel
mit unterschiedlichen Augenzahlen noch 2! = 2 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen).

Insgesamt ergeben sich daraus 5 · 2 = 10 günstige Variationen. Und wegen der Gesamtzahl von 62 = 36 Variationen erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 10/36.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p6, 2. Faktor, 25/36)

Der Faktor 25/36 ist die Wahrscheinlichkeit, auch nach dem zweiten Wurf wieder nur einen Drilling oder ein Full House zu erzielen.

Die beiden noch verbliebenen Würfel dürfen also nach dem Wurf nicht die Augenzahl des Drillings haben. Wegen der 5 Möglichkeiten für jeden der beiden Würfel
gibt es hier also 52 = 25 günstige Variationen und die Wahrscheinlichkeit ist wegen der Gesamtzahl von 62 = 36 Variationen gleich 25/36.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p7, p8, p9, p10, 1. Faktor, 5400/7776)

Der Faktor 5400/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Zwilling oder zwei Zwillinge zu erzielen.

Bei einem Zwilling gilt: Für einen Zwilling gibt es die 6 Möglichkeiten (Kombinationen) 11, 22, 33, 44, 55 und 66. Die übrigen 3 Würfel müssen dann eine der übrigen 5 Augenzahlen haben.
Und alle diese Augenzahlen müssen verschieden sein. Dafür gibt es (53) = 10 Kombinationen. Das sind zusammen 6 · 10 = 60 Kombinationen.
Für jede dieser Kombinationen gibt es wegen des Zwillings dann noch 5! / 2! = 60 Permutationen (mit Wiederholung). Damit gibt es hier 60 · 60 = 3600 günstige Variationen.

Bei zwei Zwillingen gilt: Es gibt (62) = 15 Kombinationen, 2 von 6 verschiedenen Zwillingen zu kombinieren.
Für die Augenzahl des fünften Würfels bleiben dann nur 4 Möglichkeiten (Kombinationen). Das sind zusammen 15 · 4 = 60 Kombinationen.
Und bei 5 Würfeln mit zwei Zwillingen gibt es noch jeweils 5! / (2!·2!) = 30 Permutationen (mit Wiederholung). Damit gibt es hier 60 · 30 = 1800 günstige Variationen.

Zusammen kommt man also auf 3600 + 1800 = 5400 günstige Variationen von insgesamt 65 = 7776 Variationen und damit auf eine Wahrscheinlichkeit von 5400/7776.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p8, 2. Faktor, 15/216)

Der Faktor 15/216 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Zwilling zu einem Vierling zu gelangen.

Man würfelt also mit 3 Würfeln weiter. Zum Erreichen eines Vierlings muss man zu dem schon vorhandenen Zwilling den gleichen Zwilling noch einmal dazubekommen.
Dafür gibt es nur eine Möglichkeit. Der dritte Würfel darf dann nur noch eine der übrigen 5 Augenzahlen haben (5 Möglichkeiten).
Für jede dieser 1 · 5 = 5 Kombinationen gibt es dann bei 3 Würfeln und einem Zwilling 3! / 2! = 3 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung).

Insgesamt gibt es dann also 5 · 3 = 15 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 15/216.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p9, 2. Faktor, 80/216)

Der Faktor 80/216 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Zwilling zu einem Drilling oder einem Full House zu gelangen.

Man würfelt mit 3 Würfeln weiter. Es gibt die folgenden 3 Fälle:

1. Mit einem der drei Würfel macht man aus dem schon vorhandenen Zwilling einen Drilling. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination). Für die beiden übrigen Würfel bleiben dann
die restlichen 5 Augenzahlen übrig. Dafür gibt es zunächst (52) = 10 Kombinationen (ohne Wiederholung). Die beiden Würfel müssen unterschiedliche Augenzahlen haben.
Für jede dieser 1 · 10 = 10 Kombinationen gibt es deshalb dann noch 3! = 6 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen) für die 3 Würfel. Damit hat man hier 10 · 6 = 60 günstige Variationen.

2. Neben dem einen Würfel, der aus dem Zwilling einen Drilling macht (1 Kombination), können die beiden übrigen Würfel aber auch die gleiche Augenzahl haben. Es entsteht dann ein Full House.
Dafür bleiben den beiden Würfeln 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann für jede der 1 · 5 = 5 Kombinationen noch 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).
Das sind dann 5 · 3 = 15 günstige Variationen.

3. Schließlich ist es möglich, dass der Zwilling nicht zum Drilling erweitert wird, sondern dass man mit den 3 Würfeln einen komplett neuen Drilling würfelt.
Dafür gibt es natürlich genau 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Zu jeder Kombination gibt es wegen des Drillings nur 3! / 3! = 1 eine Permutation (mit Wiederholung).
Daher kommt man hier auf 5 · 1 = 5 günstige Variationen.

Man kommt also insgesamt auf 60 + 15 + 5 = 80 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 80/216.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p10, 2. Faktor, 120/216)

Der Faktor 120/216 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Zwilling zu einem Zwilling oder 2 Zwillingen zu gelangen.

Man würfelt also mit 3 Würfeln weiter. Man kann 2 Fälle unterscheiden:

1. Man würfelt mit den 3 Würfeln 3 verschiedene Augenzahlen, die nicht mit dem schon vorhandenen Zwilling identisch sind. Dafür gibt es (53) = 10 Kombinationen (ohne Wiederholung).
Für jede dieser Kombinationen gibt es 3! = 6 Permutationen. Man kommt hier also auf 10 · 6 = 60 günstige Variationen.

2. Man würfelt mit den 3 Würfeln einen zweiten Zwilling (5 Möglichkeiten) und einen davon verschiedenen Einling (4 Möglichkeiten). Das ergibt 5 · 4 = 20 Kombinationen.
Wegen des Zwillings gibt es dann noch jeweils 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung). Das sind dann wieder 20 · 3 = 60 günstige Variationen.

Man kommt also auf insgesamt 60 + 60 = 120 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 120/216.

Es gibt hier noch eine etwas kürzere Überlegung: Da die 3 Würfel nicht mit dem Zwilling übereinstimmen dürfen, gibt es maximal 53 = 125 günstige Möglichkeiten (Variationen mit Wiederholung).
Darin verbergen sich aber auch 5 Drillinge, die hier nicht vorkommen dürfen und die man deshalb wieder abziehen muss. Auch hier gibt es also insgesamt 125 - 5 = 120 günstige Variationen.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p11, p12, p13, p14, p15, 1. Faktor, 720/7776)

Der Faktor 720/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf nur Einlinge zu erzielen.

Wegen der 6 verschiedenen Augenzahlen gibt es 6 verschiedene Einlinge. Daraus ergeben sich wegen der 5 Würfel (65) = 6 verschiedene Möglichkeiten,
5 Einlinge zu kombinieren. Konkret sind es die 6 Kombinationen 12345, 12346, 12356, 12456, 13456 und 23456. Und für jede dieser 6 Kombinationen gibt es 5! = 120 Permutationen.

Das ergibt zusammen 6 · 120 = 720 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 720/7776.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p12, 2. Faktor, 25/1296)

Der Faktor 25/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu einem Vierling zu gelangen.

Man behält also einen Einling und würfelt beim zweiten Wurf mit 4 Würfeln weiter. Man muss hier 2 Fälle unterscheiden:

1. Man würfelt einen Vierling, dessen Augenzahl nicht mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Und wegen des Vierlings gibt es jeweils nur 4! / 4! = 1 Reihenfolge (Permutation mit Wiederholung). Man hat hier also 5 · 1 = 5 günstige Variationen.

2. Man würfelt einen Drilling, dessen Augenzahl mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination).
Die Augenzahl des übrigen Würfels muss davon verschieden sein. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Wegen des Drillings gibt es dann für jede der 1 · 5 = 5 Kombinationen noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung).
Man kommt hier also auf 5 · 4 = 20 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 5 + 20 = 25 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 25/1296.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p13, 2. Faktor, 250/1296)

Der Faktor 250/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu einem Drilling oder einem Full House zu gelangen.

Man behält also einen Einling und würfelt beim zweiten Wurf mit 4 Würfeln weiter. Man muss hier 3 Fälle unterscheiden:

1. Man würfelt einen Drilling, dessen Augenzahl nicht mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Mit dem vierten Würfel würfelt man eine Augenzahl, die nicht mit der des Drillings übereinstimmt, die aber mit der Augenzahl des behaltenen Einlings übereinstimmen darf.
Deshalb gibt es auch hier 5 Möglichkeiten. Zusammen sind das 5 · 5 = 25 Kombinationen. Da sich unter den 4 Würfeln ein Drilling befindet, gibt es für jede Kombination
noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung). Man hat hier also 25 · 4 = 100 günstige Variationen.

2. Man würfelt einen Zwilling, dessen Augenzahl mit der des Einlings übereinstimmt. Es gibt dafür nur eine Möglichkeit (Kombination). Die Augenzahlen der beiden übrigen Würfel sind verschieden.
Dafür gibt es (52) = 10 Kombinationen. Wegen des Zwillings gibt es dann für jede der 1 · 10 = 10 Kombinationen noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung).
Man kommt hier also auf 10 · 12 = 120 günstige Variationen.

3. Man würfelt zwei Zwillinge, wobei die Augenzahl des einen Zwillings mit der Augenzahl des Einlings übereinstimmt (1 Möglichkeit).
Für den anderen Zwilling bleiben dann noch 5 Möglichkeiten. Also hat man hier 1 · 5 = 5 Kombinationen.
Wegen der zwei Zwillinge gibt es dann für jede Kombination noch 4! / (2!·2!) = 6 Permutationen (mit Wiederholung). Das sind dann 5 · 6 = 30 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 100 + 120 + 30 = 250 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 250/1296.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p14, 2. Faktor, 900/1296)

Der Faktor 900/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu einem Zwilling oder zwei Zwillingen zu gelangen.

Man behält einen Einling behält und würfelt deshalb nur mit 4 Würfeln weiter. Es gibt 3 Fälle:

1. Man würfelt die Augenzahl des Einlings und hat dann einen Zwilling. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination).
Für die übrigen 3 Würfel ergeben sich dann noch (53) = 10 Kombinationen, wenn die 3 Augenzahlen alle unterschiedlich sind. Zusammen sind das 1 · 10 = 10 Kombinationen.
Die Anzahl der unterschiedlichen Reihenfolgen (Permutationen) für die 4 Würfel ist dann 4! = 24. Es gibt hier also 10 · 24 = 240 günstige Variationen.

2. Man würfelt einen Zwilling. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Für die übrigen beiden Würfel bleiben dann noch 5 Augenzahlen zur Auswahl,
darunter auch die Augenzahl des schon vorhandenen Einlings. Wird diese erzielt, führt das insgesamt zu zwei Zwillingen.
Für die 5 Augenzahlen gibt es (52) = 10 Kombinationen. Zusammen sind das 5 · 10 = 50 Kombinationen. Die Anzahl der Permutationen (mit Wiederholung)
für jede der 50 Kombinationen beträgt wegen des Zwillings unter den 4 Würfeln 4! / 2! = 12. Es gibt hier also 50 · 12 = 600 günstige Variationen.

3. Man würfelt zwei Zwillinge. Dafür gibt es (52) = 10 Kombinationen. Die Zahl der Permutationen (mit Wiederholung) beträgt wegen der zwei Zwillinge 4! / (2!·2!) = 6.
Es gibt hier also 10 · 6 = 60 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 240 + 600 + 60 = 900 günstige Variationen. Wegen der Gesamtzahl von 64 = 1296 Variationen ergibt sich dann die oben erwähnte Wahrscheinlichkeit von 900/1296.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p15, 2. Faktor, 120/1296)

Der Faktor 120/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch nach dem zweiten Wurf wieder nur Einlinge vorhanden ist.

Dazu müssen die Augenzahlen der 4 Würfel, mit denen man weiter würfelt, untereinander verschieden sein. Außerdem dürfen sie nicht mit der Augenzahl des behaltenen Einlings übereinstimmen.
Man muss also 4 aus 5 möglichen Augenzahlen auswählen. Dafür gibt es (54) = 5 Kombinationen. Zu jeder Kombination gibt es dann noch 4! = 24 Permutationen.

Insgesamt kommt man also auf 5 · 24 = 120 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 64 = 1296 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 120/1296.


Kniffel in maximal 3 Würfen (p11, p12, p13, p14, p15, 2. Faktor, 1/1296, 25/1296, 250/1296, 900/1296, 120/1296)

Wenn man sich die Strategieanweisung für 5 Einlinge ("Bei fünf Einlingen wird entweder ein Einling behalten oder komplett neu (!) gewürfelt.") vor Augen führt,
erkennt man sofort, dass folgende Beziehungen für die Wahrscheinlichkeiten gelten müssen:

p11 (2. Faktor) = p1 (1. Faktor) = 6/7776 = 1/1296
p12 (2. Faktor) = p2 (1. Faktor) = 150/7776 = 25/1296
p13 (2. Faktor) = p4 (1. Faktor) = 1500/7776 = 250/1296
p14 (2. Faktor) = p7 (1. Faktor) = 5400/7776 = 900/1296
p15 (2. Faktor) = p11 (1. Faktor) = 720/7776 = 120/1296



Einzelwahrscheinlichkeiten für ein Full House


Full House in maximal 3 Würfen (p1, 1. Faktor, 300/7776)

Der Faktor 300/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb ein Full House zu würfeln.

Für das Würfeln eines Drillings im Full House gibt es 6 Möglichkeiten (Kombinationen) für die Augenzahlen. Für den zusätzlichen Zwilling bleiben dann 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Zusammen sind das 6 · 5 = 30 Kombinationen. Wegen des Drillings und des Zwillings gibt es jeweils noch 5! / (3!·2!) = 10 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung).

Insgesamt gibt es also für ein Full House 30 · 10 = 300 günstige Variationen. Wegen der Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit also 300/7776.


Full House in maximal 3 Würfen (p2, p3, 1. Faktor, 1800/7776)

Der Faktor 1800/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb zwei Zwillinge zu würfeln.

Für 2 Zwillinge bei 6 Augenzahlen gibt es (62) = 15 Kombinationen (1122, 1133, 1144, 1155, 1166, 2233, 2244, 2255, 2266, 3344, 3355, 3366, 4455, 4466 und 5566).
Für den fünften Würfel bleiben dann noch jeweils 4 Möglichkeiten (Kombinationen) übrig. Zwei Augenzahlen sind ja schon vergeben. Das ergibt zusammen 15 · 4 = 60 Kombinationen.
Für jede dieser Kombinationen gibt es wegen der 2 Zwillinge 5! / (2!·2!) = 30 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung).

Insgesamt gibt es für zwei Zwillinge also 60 · 30 = 1800 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 1800/7776.


Full House in maximal 3 Würfen (p2, 2. Faktor, 2/6)

Der Faktor 2/6 ist die Wahrscheinlichkeit, aus zwei Zwillingen ein Full House zu machen.

Man würfelt nur noch mit einem Würfel weiter und muss damit entweder die Augenzahl des einen oder die des anderen Zwillings treffen. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten (Variationen).

Hier gibt es also 2 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/6.


Full House in maximal 3 Würfen (p3, 2. Faktor, 4/6)

Der Faktor 4/6 ist die Wahrscheinlichkeit, aus zwei Zwillingen wieder zwei Zwillinge zu machen.

Man würfelt nur noch mit einem Würfel weiter und darf damit weder die Augenzahl des einen noch die des anderen Zwillings treffen. Dafür gibt es 4 Möglichkeiten (Variationen).

Hier gibt es also 4 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 4/6.


Full House in maximal 3 Würfen (p3, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p4, p5, 1. Faktor, 1350/7776)

Der Faktor 1350/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Drilling oder Vierling zu erzielen.

Für einen Drilling gibt es 6 Möglichkeiten (Kombinationen), nämlich 111, 222, ..., 666. Die beiden übrigen Würfel müssen dann die 5 Augenzahlen haben, die der jeweilige Drilling nicht hat.
Dafür gibt es (52) = 10 Kombinationen. Die beiden Würfel dürfen natürlich nicht die gleiche Augenzahl besitzen, weil man sonst schon ein Full House hätte.
Zusammen sind das 6 · 10 = 60 Kombinationen. Wegen des Drillings gibt es für jede Kombination noch jeweils 5! / 3! = 20 Permutationen (mit Wiederholung).
Also kommt man hier auf 60 · 20 = 1200 günstige Variationen.

Für einen Vierling gibt es ebenfalls 6 Kombinationen (1111, 2222, 3333, 4444, 5555 und 6666). Der fünfte Würfel muss dann jeweils eine Augenzahl haben,
die nicht mit der des Vierlings übereinstimmt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Zusammen sind das 6 · 5 = 30 Kombinationen.
Für jede dieser Kombinationen gibt es wegen der 4 gleichen Augenzahlen dann noch 5! / 4! = 5 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung).
Also kommt man hier auf 30 · 5 = 150 günstige Variationen.

Drilling und Vierling zusammen bringen es somit insgesamt auf 1200 + 150 = 1350 günstige Variationen.
Bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen kommt man also auf eine Wahrscheinlichkeit von 1350/7776.


Full House in maximal 3 Würfen (p5, 2. Faktor, 5/6)

Der Faktor 1350/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Drilling oder Vierling wieder einen Drilling oder Vierling zu machen.

Man würfelt hier mit 1 Würfel weiter, weil bei einem Drilling einer der beiden Einlinge verworfen wird und ein eventueller Vierling auf einen Drilling reduziert wird.

Der eine Würfel darf dann nur nicht die Augenzahl des noch vorhandenen Einling erzielen, weil dann ein Full House entstünde. Es gibt hier also 5 Variationen.

Diese 5 günstigen Variationen ergeben bei einer Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen eine Wahrscheinlichkeit von 5/6.


Full House in maximal 3 Würfen (p6, p7, p8, 1. Faktor, 6/7776)

Der Faktor 6/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Kniffel zu erzielen.

Für einen Kniffel gibt es die 6 Kombinationen 11111, 22222, 33333, 44444, 55555 und 66666. Und für jede dieser Kombinationen gibt es nur 5! / 5! = 1 Permutation (mit Wiederholung).

Insgesamt kommt man also auf 6 · 1 = 6 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 6/7776.


Full House in maximal 3 Würfen (p6, 2. Faktor, 5/36)

Der Faktor 5/36 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Kniffel zu einem Full House zu gelangen.

Man behält einen Drilling und würfelt mit 2 Würfeln weiter. Die Augenzahlen der beiden Würfel müssen gleich sein, dürfen aber nicht mit der Augenzahl des Drillings übereinstimmen.
Dafür gibt es nur 5 Möglichkeiten (Variationen).

Diese 5 günstigen Variationen ergeben dann wegen der Gesamtzahl von 62 = 36 Variationen eine Wahrscheinlichkeit von 5/36.


Full House in maximal 3 Würfen (p7, 2. Faktor, 30/36)

Der Faktor 30/36 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Kniffel zu einem Drilling oder Vierling zu gelangen.

Man behält einen Drilling und würfelt mit 2 Würfeln weiter. Um nach dem zweiten Wurf insgesamt einen Drilling oder Vierling zu haben, dürfen die Augenzahlen der beiden Würfel nicht gleich sein.
Um die günstigen Variationen zu erhalten, muss man deshalb von der Gesamtzahl von 62 = 36 Variationen die 6 Variationen abziehen,
bei denen die beiden Augenzahlen gleich sind, bei denen zusammen mit dem Drilling also entweder ein Full House oder ein Kniffel entsteht.

Insgesamt gibt es hier also 30 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 62 = 36 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 30/36.


Full House in maximal 3 Würfen (p8, 3. Faktor, 5/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p9, p10, p11, p12, p13, 1. Faktor, 3600/7776)

Der Faktor 3600/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen Zwilling zu erzielen.

Für einen Zwilling gibt es 6 Möglichkeiten (Kombinationen), nämlich 11, 22, 33, 44, 55 und 66. Die übrigen 3 Würfel müssen dann Augenzahlen haben,
die untereinander alle verschieden sind und außerdem nicht mit der Augenzahl des Zwillings übereinstimmen. Dafür gibt es (53) = 10 Kombinationen.
Zusammen sind das dann 6 · 10 = 60 Kombinationen. Wegen des einen Zwillings gibt es zu jeder dieser Kombinationen noch 5! / 2! = 60 Permutationen (mit Wiederholung).

Insgesamt kommt man demnach auf 60 · 60 = 3600 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen ist die Wahrscheinlichkeit 3600/7776.


Full House in maximal 3 Würfen (p9, 2. Faktor, 20/216)

Der Faktor 20/216 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Zwilling zu einem Full House zu gelangen.

Man würfelt also mit 3 Würfeln weiter. Man muss 2 Fälle unterscheiden:

1. Man erzielt mit den 3 Würfeln einen Drilling. Die Augenzahlen dürfen nicht mit denen des Zwillings übereinstimmen. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten, also 5 günstige Variationen.

2. Der Zwilling wird durch einen Würfel zum Drilling erweitert (1 Möglichkeit) und mit den anderen beiden Würfeln erzielt man einen Zwilling,
dessen Augenzahlen natürlich nicht mit denen des Drilling übereinstimmen dürfen (5 Möglichkeiten). Zusammen sind das 1 · 5 = 5 Kombinationen.
Wegen des neuen Zwillings gibt es zu jeder Kombination 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung). Man hat hier also 5 · 3 = 15 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 5 + 15 = 20 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 20/216.


Full House in maximal 3 Würfen (p10, 2. Faktor, 60/216)

Der Faktor 60/216 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Zwilling zu zwei Zwillingen zu gelangen.

Man würfelt ja mit 3 Würfeln weiter. Für einen zweiten Zwilling bleiben für die Augenzahlen 5 Möglichkeiten und für den Einling 4 Möglichkeiten.
Zusammen sind das 5 · 4 = 20 Kombinationen. Für jede Kombination gibt es dann wegen des neuen Zwillings noch 3! / 2! = 3 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung)

Insgesamt gibt es also 20 · 3 = 60 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 60/216.


Full House in maximal 3 Würfen (p10, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p11, 2. Faktor, 75/216)

Der Faktor 75/216 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von einem Zwilling zu einem Drilling oder Vierling zu gelangen.

Man würfelt ja mit 3 Würfeln weiter. Man muss dann 2 Fälle unterscheiden:

1. Für einen Drilling muss einer der Würfel den Zwilling zum Drilling erweitern. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination).
Für die beiden anderen Würfel bleiben wegen der unterschiedlichen Augenzahlen (52) = 10 Kombinationen.
Zusammen sind das 1 · 10 = 10 Kombinationen. Und für jede Kombination gibt es 3! = 6 Permutationen. Das sind dann 10 · 6 = 60 günstige Variationen.

2. Für einen Vierling müssen zwei von den drei Würfeln die Erweiterung auf den Vierling schaffen (1 Möglichkeit). Für den dritten Würfel bleiben dann 5 Möglichkeiten.
Zusammen sind das 1 · 5 = 5 Kombinationen. Wegen des Zwillings unter den 3 Würfeln gibt es für jede Kombination noch 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).
Das sind zusammen 5 · 3 = 15 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 60 + 15 = 75 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 75/216.


Full House in maximal 3 Würfen (p12, 3. Faktor, 5/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p13, 2. Faktor, 60/216)

Der Faktor 60/216 ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch nach dem zweiten Wurf wieder nur ein Zwilling vorhanden ist.

Man würfelt ja mit 3 Würfeln weiter. Dafür stehen nur 5 Augenzahlen zur Verfügung, da man die Augenzahl des Zwillings ja nicht würfeln darf.
Außerdem darf mit den 3 Würfeln kein weiterer Zwilling und schon gar kein Drilling entstehen. Die 3 Würfel müssen also alle verschiedene Augenzahlen haben.
Dafür gibt es aber (53) = 10 Kombination. Und auf jede dieser 10 Kombinationen kommen noch 3! = 6 Permutationen.

Das sind dann zusammen 10 · 6 = 60 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 63 = 216 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 60/216.


Full House in maximal 3 Würfen (p13, 3. Faktor, 20/216)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p9 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p14, p15, p16, p17, p18, p19, 1. Faktor, 720/7776)

Der Faktor 720/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf nur Einlinge zu erzielen.

Es gibt wegen der 6 verschiedenen Augenzahlen 6 verschiedene Einlinge. Daraus ergeben sich wegen der 5 Würfel (65) = 6 verschiedene Möglichkeiten,
5 Einlinge zu kombinieren. Konkret sind es die 6 Kombinationen 12345, 12346, 12356, 12456, 13456 und 23456.
Und für jede dieser 6 Kombinationen von 5 Einlingen gibt es 5! = 120 Permutationen.

Das ergibt zusammen 6 · 120 = 720 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 720/7776.


Full House in maximal 3 Würfen (p14, 2. Faktor, 50/1296)

Der Faktor 50/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu einem Full House zu gelangen.

Man behält also einen Einling und würfelt beim zweiten Wurf mit 4 Würfeln weiter. Man muss hier 2 Fälle unterscheiden:

1. Man würfelt einen Drilling, dessen Augenzahl nicht mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten. Mit dem vierten Würfel würfelt man die Augenzahl,
die mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es nur 1 Möglichkeit. Zusammen sind das 5 · 1 = 5 Kombinationen. Da sich unter den 4 Würfeln ein Drilling befindet,
gibt es für jede Kombination noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung). Man hat hier also 5 · 4 = 20 günstige Variationen.

2. Man würfelt zwei Zwillinge, wobei die Augenzahl des einen Zwillings mit der Augenzahl des Einlings übereinstimmt (1 Möglichkeit).
Für den anderen Zwilling gibt es dann noch 5 Möglichkeiten. Also hat man hier 1 · 5 = 5 Kombinationen.
Wegen der zwei Zwillinge kommt man pro Kombination auf 4! / (2!·2!) = 6 Permutationen (mit Wiederholung). Das sind dann 5 · 6 = 30 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 20 + 30 = 50 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 50/1296.


Full House in maximal 3 Würfen (p15, 2. Faktor, 300/1296)

Der Faktor 300/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu zwei Zwillingen zu gelangen.

Wenn man einen Einling behält und deshalb nur mit 4 Würfeln weiter würfelt, gibt es 2 Fälle:

1. Man würfelt einen Einling, dessen Augenzahl mit der des schon vorhandenen Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination).
Außerdem würfelt man einen neuen Zwilling. Dafür gibt es dann 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Und für den übrigen Würfel ergeben sich noch einmal 4 Möglichkeiten (Kombinationen),
weil nur noch 4 Augenzahlen infrage kommen. Zusammen sind das 1 · 5 · 4 = 20 Kombinationen. Die Zahl der Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung) der 4 neu gewürfelten Augenzahlen
beträgt wegen des neuen Zwillings 4! / 2! = 12. Es gibt hier also auch 20 · 12 = 240 günstige Variationen.

2. Man würfelt zwei Zwillinge. Wegen der 5 noch möglichen Augenzahlen gibt es dafür (52) = 10 Kombinationen. Die Zahl der Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung)
beträgt wegen der zwei Zwillinge 4! / (2!·2!) = 6. Es gibt hier also 10 · 6 = 60 günstige Variationen.

Insgesamt sind das 240 + 60 = 300 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl der Variationen von 64 = 1296 ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von 300/1296.


Full House in maximal 3 Würfen (p15, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p16, 2. Faktor, 225/1296)

Der Faktor 225/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu einem Drilling oder Vierling zu gelangen.

Man behält also einen Einling und würfelt beim zweiten Wurf mit 4 Würfeln weiter. Man muss hier 4 Fälle unterscheiden:

1. Man würfelt einen Drilling, dessen Augenzahl nicht mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Mit dem vierten Würfel würfelt man eine Augenzahl,
die weder mit der des Drillings noch des behaltenen Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es 4 Möglichkeiten (Kombinationen). Zusammen sind das 5 · 4 = 20 Kombinationen.
Da sich unter den 4 Würfeln ein Drilling befindet, gibt es für jede Kombination noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung). Man hat hier also 20 · 4 = 80 günstige Variationen.

2. Man würfelt einen Drilling, dessen Augenzahl mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination).
Die Augenzahl des übrigen Würfels muss davon verschieden sein. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Wegen des Drillings gibt es dann für jede der 1 · 5 = 5 Kombinationen noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung). Man kommt hier also auf 5 · 4 = 20 günstige Variationen.

3. Man würfelt einen Zwilling, dessen Augenzahl mit der des Einlings übereinstimmt. Es gibt also hier nur eine Möglichkeit (Kombination).
Die Augenzahlen der beiden übrigen Würfel sind verschieden. Dafür gibt es wegen der 5 noch verfügbaren Augenzahlen (52) = 10 Kombinationen.
Wegen des Zwillings gibt es dann für jede der 1 · 10 = 10 Kombinationen noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung). Man kommt hier also auf 10 · 12 = 120 günstige Variationen.

4. Man würfelt einen Vierling, dessen Augenzahl nicht mit der des Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen).
Da es sich um einen Vierling handelt, ist jeweils nur 4! / 4! = 1 Reihenfolge (Permutation mit Wiederholung) möglich. Man hat hier also 5 · 1 = 5 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 80 + 20 + 120 + 5 = 225 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 225/1296.


Full House in maximal 3 Würfen (p17, 3. Faktor, 5/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p18, 2. Faktor, 600/1296)

Der Faktor 600/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, durch den zweiten Wurf von nur Einlingen zu einem Zwilling zu gelangen.

Wenn man einen Einling behält und deshalb nur mit 4 Würfeln weiter würfelt, gibt es 2 Fälle:

1. Man würfelt einen Einling, dessen Augenzahl mit der des schon vorhandenen Einlings übereinstimmt. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit (Kombination).
Für die übrigen 3 Würfel ergeben sich dann noch (53) = 10 Kombinationen, weil die 3 Augenzahlen alle verschieden sein müssen. Zusammen sind das 1 · 10 = 10 Kombinationen.
Die Zahl der Permutationen für die 4 Würfel ist dann 4! = 24, weil ja alle 4 Augenzahlen verschieden sind. Es gibt hier also 10 · 24 = 240 günstige Variationen.

2. Man würfelt einen Zwilling. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Kombinationen). Wegen der noch verfügbaren 4 Augenzahlen gibt es für die beiden übrigen Würfel,
deren Augenzahlen verschieden sein müssen, noch (42) = 6 Kombinationen. Zusammen sind das 5 · 6 = 30 Kombinationen.
Die Anzahl der Reihenfolgen (Permutationen mit Wiederholung) beträgt wegen des einen Zwillings 4! / 2! = 12. Es gibt hier also 30 · 12 = 360 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 240 + 360 = 600 günstige Variationen und wegen der Gesamtzahl von 64 = 1296 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit 600/1296.


Full House in maximal 3 Würfen (p18, 3. Faktor, 20/216)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p9 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p19, 2. Faktor, 120/1296)

Der Faktor 120/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch nach dem zweiten Wurf wieder nur Einlinge vorhanden ist.

Dazu müssen die Augenzahlen der 4 Würfel, mit denen man weiter würfelt, untereinander verschieden sein. Außerdem dürfen sie nicht mit der Augenzahl des behaltenen Einlings übereinstimmen.
Dafür gibt es (54) = 5 Kombinationen. Zu jeder Kombination gibt es dann noch 4! = 24 Permutationen.

Insgesamt kommt man also auf 5 · 24 = 120 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 64 = 1296 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 120/1296.


Full House in maximal 3 Würfen (p19, 3. Faktor, 50/1296)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p14 (2. Faktor).


Full House in maximal 3 Würfen (p14, p15, p16, p17, p18, p19, 2. Faktor, 50/1296, 300/1296, 225/1296, 1/1296, 600/1296, 120/1296)

Wenn man sich die Strategieanweisung für 5 Einlinge ("Bei fünf Einlingen wird entweder ein Einling behalten oder komplett neu (!) gewürfelt.") vor Augen führt,
erkennt man sofort, dass folgende Beziehungen für die Wahrscheinlichkeiten gelten müssen:

p14 (2. Faktor) = p1 (1. Faktor) = 300/7776 = 50/1296
p15 (2. Faktor) = p2 (1. Faktor) = 1800/7776 = 300/1296
p16 (2. Faktor) = p4 (1. Faktor) = 1350/7776 = 225/1296
p17 (2. Faktor) = p6 (1. Faktor) = 6/7776 = 1/1296
p18 (2. Faktor) = p11 (1. Faktor) = 3600/7776 = 600/1296
p19 (2. Faktor) = p14 (1. Faktor) = 720/7776 = 120/1296



Einzelwahrscheinlichkeiten für eine große Straße


Große Straße in maximal 3 Würfen (p1, 1. Faktor, 240/7776)

Der Faktor 240/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb eine große Straße zu würfeln.

Es gibt nur 2 Möglichkeiten (Kombinationen), mit 5 Würfeln eine große Straße zu würfeln, nämlich 12345 und 23456.
Wegen der 5 Würfel gibt es zu jeder Kombination dann noch 5! = 120 verschiedene Reihenfolgen (Permutationen).

Insgesamt kommt man also auf 2 · 120 = 240 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 240/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p2, p3, 1. Faktor, 240/7776)

Der Faktor 240/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen inneren 4er würfeln.

Der innere 4er besteht aus den Augenzahlen 2, 3, 4 und 5. Es gibt also nur eine Kombination.
Mit dem fünften Würfel muss man dann auch eine dieser 4 Augenzahlen erzielen. Dafür gibt es 4 Möglichkeiten (Kombinationen).
Für jede dieser 1 · 4 = 4 Kombinationen gibt es wegen des dann vorhandenen Zwillings noch 5! / 2! = 60 Permutationen (mit Wiederholung).

Insgesamt kommt man also auf 4 · 60 = 240 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen auf eine Wahrscheinlichkeit von 240/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p2, 2. Faktor, 2/6)

Der Faktor 2/6 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem inneren 4er eine große Straße zu machen.

Man würfelt nur noch mit einem Würfel weiter und muss damit entweder die 1 oder die 6 treffen. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten (Variationen).

Hier gibt es also 2 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/6.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p3, 2. Faktor, 4/6)

Der Faktor 4/6 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem inneren 4er wieder einen inneren 4er zu machen.

Man würfelt mit einem Würfel weiter. Mit diesem Würfel muss man eine Augenzahl des inneren 4ers erzielen. Dafür gibt es 4 Möglichkeiten (Variationen).

Hier gibt es also 4 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 4/6.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p3, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p4, p5, 1. Faktor, 2400/7776)

Der Faktor 2400/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen äußeren 4er würfeln.

Dazu müssen 3 Würfel die Augenzahlen des inneren 4ers (2, 3, 4 und 5) erzielen. Dafür gibt es (43) = 4 Kombinationen.
Für die beiden übrigen Würfel gibt es dann 3 Fälle:

1. Ein Würfel erzielt eine Augenzahl der ersten 3 Würfel und der andere Würfel erzielt eine 1 oder eine 6. Das sind 3 · 2 = 6 Kombinationen.
Wegen des nun vorhandenen Zwillings gibt es für jede Kombination noch 5! / 2! = 60 Permutationen (mit Wiederholung).

2. Beide Würfel erzielen entweder eine 1 oder eine 6. Das sind 2 Kombinationen.
Wegen des nun vorhandenen Zwillings gibt es für jede Kombination ebenfalls noch 5! / 2! = 60 Permutationen (mit Wiederholung).

3. Ein Würfel erzielt die 1 und der andere Würfel die 6 (1 Kombination). Hierfür gibt es 5! = 120 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 4 · (6·60 + 2·60 + 1·120) = 2400 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 2400/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p5, 2. Faktor, 5/6)

Der Faktor 5/6 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 4er wieder einen äußeren 4er zu machen.

Man würfelt mit einem Würfel weiter. Mit diesem Würfel muss man entweder eine der 3 inneren Augenzahlen oder die 5 oder die 6 erzielen. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (Variationen).

Hier gibt es also 5 günstige Variationen bei einer Gesamtzahl von 61 = 6 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 5/6.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p6, p7, p8, p9, 1. Faktor, 600/7776)

Der Faktor 600/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen inneren 3er zu würfeln.

Ein innerer 3er besteht aus aus 3 Würfeln, die nur die Augenzahlen 2, 3, 4 oder 5 besitzen dürfen. Und zwar müssen alle Augenzahlen verschieden sein.
Für einen inneren 3er gibt es deshalb nur (43) = 4 Kombinationen (234, 235, 245 und 345).

Die beiden übrigen Würfeln dürfen dann nur die Augenzahlen der ersten drei Würfel haben. Dafür gibt es 2 Fälle:

1. Die Augenzahlen der beiden übrigen Würfel sind gleich. Wegen der 3 Augenzahlen des inneren 3ers gibt es dann 3 Möglichkeiten (Kombinationen), insgesamt also 4 · 3 = 12 Kombinationen.
Und zu jeder Kombination gibt es wegen der dann 3 gleichen Augenzahlen 5! / 3! = 20 Permutationen (mit Wiederholung).

2. Die Augenzahlen der beiden übrigen Würfel sind verschieden. Wegen der 3 Augenzahlen des inneren 3ers gibt es dann (32) = 3 Möglichkeiten (Kombinationen),
insgesamt also auch 4 · 3 = 12 Kombinationen. Und zu jeder Kombination gibt es wegen der dann zweimal 2 gleichen Augenzahlen 5! / (2!·2!) = 30 Permutationen (mit Wiederholung).

Zusammen gibt es also 12·20 + 12·30 = 600 günstige Variationen von insgesamt 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 600/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p6, 2. Faktor, 4/36)

Der Faktor bei 4/36 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem inneren 3er eine große Straße zu machen.

Man würfelt also mit 2 Würfeln weiter. Mit einem Würfel muss man aus dem inneren 3er einen inneren 4er machen (1 Kombination) und der andere Würfel muss
die Augenzahl 1 oder 6 erzielen (2 Kombinationen). Für jede der 1 · 2 = 2 Kombinationen gibt es noch 2! = Permutationen.

Insgesamt gibt es also 2 · 2 = 4 günstige Variationen von insgesamt 62 = 36 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 4/36.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p7, 2. Faktor, 7/36)

Der Faktor bei 7/36 ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem inneren 3er ein innerer 4er wird.

Man würfelt also mit 2 Würfeln weiter. Einer dieser beiden Würfel muss dann die noch fehlende innere Augenzahl zeigen. Dafür gibt es 1 Möglichkeit (Kombination). Es gibt nun 2 Fälle:

1. Man erzielt mit dem anderen Würfel die gleiche Augenzahl (1 Kombination). Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann auch nur 2! / 2! = 1 Permutation (mit Wiederholung).

2. Man erzielt mit dem anderen Würfel eine Augenzahl des inneren 3ers. Dann hat man 3 Möglichkeiten (Kombinationen) und für jede Kombination 2! = 2 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 1 · (1·1 + 3·2) = 7 günstige Variationen von insgesamt 62 = 36 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 7/36.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p7, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p8, 2. Faktor, 16/36)

Der Faktor bei 16/36 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem inneren 3er einen äußeren 4er zu machen.

Man würfelt also mit 2 Würfeln weiter. Es gibt 2 Fälle:

1. Man würfelt nur Einsen und/oder Sechsen. Das sind 22 = 4 Variationen.

2. Man würfelt eine 1 oder eine 6 (2 Kombinationen) und zusätzlich eine Augenzahl des inneren 3ers (3 Kombinationen). Für jede der 2 · 3 = 6 Kombinationen gibt es noch 2! = 2 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 4 + 6·2 = 16 günstige Variationen von insgesamt 62 = 36 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 16/36.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p9, 2. Faktor, 9/36)

Der Faktor bei 9/36 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem inneren 3er wieder einen inneren 3er zu machen.

Man würfelt also mit 2 Würfeln weiter. Mit den beiden Würfeln darf man nur die Augenzahlen des inneren 3ers treffen. Dafür gibt es jeweils 3 Möglichkeiten, also 32 = 9 Variationen.

Insgesamt gibt es also 9 günstige Variationen von insgesamt 62 = 36 Variationen und damit eine Wahrscheinlichkeit von 9/36.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p9, 3. Faktor, 4/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p10, p11, p12, p13, p14, 1. Faktor, 3420/7776)

Der Faktor 3420/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen äußeren 3er oder inneren 2er zu erzielen.

Es gibt 3 Fälle:

1. Beim einem inneren 2er kommen ja nur die (42) = 6 Kombinationen 23, 24, 25, 34, 35 und 45 vor.
Nun kann jeweils eine innere Augenzahl viermal und die andere einmal vorkommen (2 Kombinationen). Dafür gibt es jeweils 5! / 4! = 5 Permutationen (mit Wiederholung).
Dann kann noch die eine Augenzahl dreimal und die andere zweimal vorkommen (2 Kombinationen). Hier ergeben sich jeweils 5! / (3!·2!) = 10 Permutationen (mit Wiederholung).
Das sind zusammen 6 · (2·5 + 2·10) = 180 Variationen.

2. Bei den äußeren 3ern kommt zu den 6 möglichen inneren 2ern entweder die 1 oder die 6 hinzu. Das ergibt 12 Kombinationen.
Wegen der beiden übrigen Würfel kann dann eine Augenzahl dreimal vorkommen. Das sind 3 Kombinationen.
Und wegen der 3 gleichen Augenzahlen gibt es für jede der 12 · 3 = 36 Kombinationen 5! / 3! = 20 Permutationen (mit Wiederholung).
Oder durch die beiden übrigen Würfel können zwei Augenzahlen jeweils zweimal vorkommen. Das sind (32) = 3 Kombinationen.
Und wegen der zweimal 2 gleichen Augenzahlen gibt es für jede der 12 · 3 = 36 Kombinationen 5! / (2!·2!) = 30 Permutationen (mit Wiederholung).
Also gibt es hier 36·20 + 36·30 = 1800 günstige Variationen.

3. Dann gibt es noch die folgenden 6 Kombinationen für einen äußeren 3er: 1236, 1246, 1256, 1346, 1356 und 1456.
Durch den übrigen Würfel kann nur eine Augenzahl doppelt vorkommen. Das sind 4 Kombinationen.
Und wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es für jede der 6 · 4 = 24 Kombinationen 5! / 2! = 60 Permutationen (mit Wiederholung).
Also gibt es hier 24 · 60 = 1440 günstige Variationen.

Insgesamt sind das dann 180 + 1800 + 1440 = 3420 günstige Variationen von insgesamt 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 3420/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p10, 2. Faktor, 12/216)

Der Faktor 12/216 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 3er oder inneren 2er eine große Straße zu machen.

Entsprechend der optimalen Strategie kann man für den zweiten Wurf z.B nur den inneren 2er behalten. Man würfelt dann mit 3 Würfeln weiter.

Zwei der drei Würfel müssen die beiden noch fehlenden inneren Augenzahlen erzielen. Dafür gibt es nur 1 Möglichkeit (Kombination).
Der dritte Würfel muss entweder die 1 oder die 6 erreichen, um insgesamt eine große Straße zu erzielen. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten (Kombinationen).
Da die Augenzahlen der 3 Würfel verschieden sind, gibt es für jede der 1 · 2 = 2 Kombinationen noch 3! = 6 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 2 · 6 = 12 günstige Variationen von insgesamt 63 = 216 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 12/216.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p11, 2. Faktor, 18/216)

Der Faktor 18/216 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 3er oder inneren 2er einen inneren 4er zu machen.

Man behält vom äußeren 3er nur den inneren 2er, würfelt also mit 3 Würfeln weiter. Es gibt 2 Fälle:

1. Um einen inneren 4er mit den 3 Würfeln zu erzielen, muss man die übrigen beiden inneren Augenzahlen würfeln.
Dafür gibt es zunächst die 2 Kombinationen, bei denen jeweils eine dieser beiden übrigen inneren Augenzahlen doppelt vorkommt.
Für jede dieser Kombinationen gibt es wegen der doppelten Augenzahl 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).

2. Dann gibt es noch die 2 Kombinationen, bei denen eine Augenzahl mit einer Augenzahl des schon vorhandenen inneren 2ers übereinstimmt.
Für jede dieser Kombinationen gibt es 3! = 6 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 2·3 + 2·6 = 18 günstige Variationen von insgesamt 63 = 216 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 18/216.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p11, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p12, 2. Faktor, 84/216)

Der Faktor 84/216 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 3er oder inneren 2er einen äußeren 4er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 3er zum inneren 2er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 3 Würfeln weiter.

Dazu muss man mit einem Würfel eine weitere innere Augenzahl würfeln. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten (Kombinationen).
Für die beiden übrigen Würfel gibt es dann die folgenden 3 Fälle:

1. Man würfelt 2 Einsen oder 2 Sechsen (2 Kombinationen). Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann jeweils noch 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).

2. Man würfelt eine 1 und eine 6 (1 Kombination). Dann gibt es jeweils noch 3! = 6 Permutationen.

3. Man würfelt die gerade eben gewürfelte innere Augenzahl und eine 1 oder eine 6 (2 Kombinationen).
Dann gibt es wegen der 2 gleichen Augenzahlen jeweils noch 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).

4. Man würfelt eine der beiden schon vorhandenen inneren Augenzahlen und eine 1 oder eine 6 (4 Kombinationen). Dafür gibt es dann jeweils noch 3! = 6 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 2 · (2·3 + 1·6 + 2·3 + 4·6) = 84 günstige Variationen von insgesamt 63 = 216 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 84/216.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p13, 2. Faktor, 38/216)

Der Faktor 38/216 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 3er oder inneren 2er einen inneren 3er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 3er zum inneren 2er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 3 Würfeln weiter.

Dazu muss man mit einem Würfel eine weitere innere Augenzahl würfeln. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten (Kombinationen).
Zusätzlich gibt es für die beiden letzten Würfel die folgenden 4 Fälle:

1. Man würfelt zweimal die neue innere Augenzahl (1 Kombination). Wegen der 3 gleichen Augenzahlen gibt es pro Kombinationen noch 3! / 3! = 1 Permutation (mit Wiederholung).

2. Man würfelt die neue und eine schon vorhandene innere Augenzahl (2 Kombinationen). Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es pro Kombinationen noch 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).

3. Man würfelt zweimal eine schon vorhandene innere Augenzahl (2 Kombinationen). Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es pro Kombinationen noch 3! / 2! = 3 Permutationen (mit Wiederholung).

4. Man würfelt jede der beiden schon vorhandenen inneren Augenzahlen (1 Kombination). Hier gibt es pro Kombinationen noch 3! = 6 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 2 · (1·1 + 2·3 + 2·3 + 1·6) = 38 günstige Variationen von insgesamt 63 = 216 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 38/216.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p13, 3. Faktor, 4/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p14, 2. Faktor, 64/216)

Der Faktor 64/216 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 3er oder inneren 2er einen äußeren 3er oder inneren 2er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 3er zum inneren 2er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 3 Würfeln weiter.

Mit den 3 Würfeln darf man nur die 1, die 6 oder die beiden Augenzahlen des schon vorhandenen inneren 2er würfeln.
Dafür gibt es jeweils 4 Möglichkeiten, also 43 = 64 günstige Variationen.

Es gibt also 64 günstige Variationen von insgesamt 63 = 216 möglichen Variationen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 64/216.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p14, 3. Faktor, 12/216)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p10 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p15, p16, p17, p18, p19, p20, 1. Faktor, 844/7776)

Der Faktor 840/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen äußeren 2er oder inneren 1er zu erzielen.

Beim einem inneren 1er müssen alle 5 Würfel entweder die Augenzahl 2, 3, 4 oder 5 zeigen. Das sind 4 Kombinationen und wegen der 5 gleichen Augenzahlen
5! / 5! = 1 Permutation (mit Wiederholung) für jede Kombination. Die Anzahl der Variationen ist also 4 · 1 = 4.

Für einen äußeren 2er gibt es zunächst die 8 Kombinationen 12, 13, 14, 15, 26, 36, 46 und 56.

Hier kann dann eine Augenzahl viermal und die andere einmal vorkommen (2 Kombinationen).
Wegen der 4 gleichen Augenzahlen gibt es dann jeweils noch 5! / 4! = 5 Permutationen (mit Wiederholung).
Dann kann noch eine Augenzahl dreimal und die andere zweimal vorkommen (2 Kombinationen).
Wegen der 3 und 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann jeweils noch 5! / (3!·2!) = 10 Permutationen (mit Wiederholung).
Das sind zusammen 8 · (2·5 + 2·10) = 8 · 30 = 240 Variationen.

Dann gibt es noch die folgenden 4 Kombinationen für einen äußeren 2er: 126, 136, 146 und 156.

Hier kann dann eine Augenzahl dreimal und die beiden anderen jeweils einmal vorkommen (3 Kombinationen).
Wegen der 3 gleichen Augenzahlen gibt es dann noch jeweils 5! / 3! = 20 Permutationen (mit Wiederholung).
Dann können noch zwei Augenzahlen zweimal und die dritte einmal vorkommen (3 Kombinationen).
Wegen der zweimal 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann noch jeweils 5! / (2!·2!) = 30 Permutationen (mit Wiederholung).
Das sind zusammen 4 · (3·20 + 3·30) = 4 · 150 = 600 Variationen.

Insgesamt gibt es also 4 + 240 + 600 = 844 günstige Variationen von insgesamt 65 = 7776 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 844/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p15, 2. Faktor, 48/1296)

Der Faktor 48/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 2er oder inneren 1er eine große Straße zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 2er zum inneren 1er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.

Davon müssen 3 Würfel die noch 3 fehlenden inneren Augenzahlen erzielen (1 Kombination). Der vierte Würfel muss dann entweder die 1 oder die 6 erzielen (2 Kombinationen).
Für jede dieser 1 · 2 = 2 Kombinationen gibt es dann noch 4! = 24 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 2 · 24 = 48 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 48/1296.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p16, 2. Faktor, 60/1296)

Der Faktor 60/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 2er oder inneren 1er einen inneren 4er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 2er zum inneren 1er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.

Davon müssen 3 Würfel die noch 3 fehlenden inneren Augenzahlen erzielen (1 Kombination). Für den vierten Würfel gibt es 2 Fälle:

1. Der Würfel erzielt die Augenzahl des inneren 1ers (1 Kombination). Zu dieser 1 · 1 = 1 Kombination gibt es noch 4! = 24 Permutationen.

2. Der Würfel erzielt eine der gerade gewürfelten 3 Augenzahlen (3 Kombination). Zu diesen 1 · 3 = 3 Kombinationen gibt es wegen einer doppelten Augenzahl noch 4! / 2! = 12 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 1·24 + 3·12 = 60 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 60/1296.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p16, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p17, 2. Faktor, 432/1296)

Der Faktor 432/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 2er oder inneren 1er einen äußeren 4er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 2er zum inneren 1er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.

Um aus einem inneren 1er einen äußeren 4er zu machen, muss man mit 2 Würfeln zunächst zwei weitere innere Augenzahlen schaffen. Dafür gibt es (32) = 3 Kombinationen.
Für die beiden letzten Würfel gibt es die folgenden 3 Fälle:

1. Mit dem dritten Würfel würfelt man eine 1 oder eine 6 (2 Kombinationen). Mit dem vierten Würfel würfelt man entweder eine schon gewürfelte innere Augenzahl oder
die schon gewürfelte äußere Augenzahl (3 Kombinationen). Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann für jede der 2 · 3 = 6 Kombinationen noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung).

2. Mit dem dritten Würfel würfelt man eine 1 oder eine 6 (2 Kombinationen). Mit dem vierten Würfel würfelt man die Augenzahl des inneren 1ers (1 Kombination).
Für jede der 2 · 1 = 2 Kombinationen gibt es dann noch 4! = 24 Permutationen.

3. Mit den beiden letzten Würfeln würfelt man eine 1 und eine 6 (1 Kombination). Dafür gibt es dann 4! = 24 Permutationen.

Insgesamt gibt es also 3 · (6·12 + 2·24 + 1·24) = 432 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 432/1296.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p18, 2. Faktor, 150/1296)

Der Faktor 150/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 2er oder inneren 1er einen innerer 3er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 2er zum inneren 1er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.

Um aus einem inneren 1er einen inneren 3er zu machen, muss man mit 2 Würfeln zwei weitere innere Augenzahlen schaffen. Dafür gibt es (32) = 3 Kombinationen.
Für die 2 übrigen Würfel gibt es nun die folgenden 4 Fälle:

1. Man würfelt beide der beiden weiteren inneren Augenzahlen (1 Kombination).
Wegen der zweimal 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann noch 4! / (2!·2!) = 6 Permutationen (mit Wiederholung).

2. Man würfelt zweimal nur eine der beiden weiteren inneren Augenzahlen (2 Kombinationen).
Wegen der 3 gleichen Augenzahlen gibt es dann jeweils noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung).

3. Man würfelt die Augenzahl des inneren 1ers und auch eine der beiden weiteren inneren Augenzahlen (2 Kombinationen).
Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann jeweils noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung).

4. Man würfelt zweimal nur die Augenzahl des inneren 1ers (1 Kombination).
Wegen der 2 gleichen Augenzahlen gibt es dann noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung).

Insgesamt gibt es dann also 3 · (1·6 + 2·4 + 2·12 + 1·12) = 150 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 150/1296.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p18, 3. Faktor, 4/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p19, 2. Faktor, 525/1296)

Der Faktor 525/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 2er oder inneren 1er einen äußeren 3er oder inneren 2er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 2er zum inneren 1er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter. Es gibt die folgenden 7 Fälle:

1. Alle vier Würfel erzielen zusammen eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen).
Für jede der 3 Kombinationen gibt es dann wegen der 4 gleichen Augenzahlen noch 4! / 4! = 1 Permutation (mit Wiederholung).

2. Drei Würfel erzielen zusammen eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen).
Der vierte Würfel erzielt entweder die Augenzahl des ursprünglichen 1ers oder die 1 oder die 6 (3 Kombinationen).
Für jede der 3 · 3 = 9 Kombinationen gibt es dann wegen der 3 gleichen Augenzahlen noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung).

3. Zwei Würfel erzielen zusammen eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen).
Die beiden übrigen Würfel erzielen zusammen entweder die Augenzahl des ursprünglichen 1ers oder die 1 oder die 6 (3 Kombinationen).
Für die 3 · 3 = 9 Kombinationen gibt es dann wegen der zweimal 2 gleichen Augenzahlen noch 4! / (2!·2!) = 6 Permutationen (mit Wiederholung).

4. Zwei Würfel erzielen zusammen eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen). Die beiden übrigen Würfel erzielen 2 der 3 folgenden Augenzahlen:
Augenzahl des ursprünglichen 1ers, die 1 oder die 6 (3 Kombinationen).
Für die 3 · 3 = 9 Kombinationen gibt es dann wegen der 2 gleichen Augenzahlen noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung).

5. Ein Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen).
Die 3 übrigen Würfel erzielen zusammen entweder die Augenzahl des ursprünglich vorhandenen 1ers oder die 1 oder die 6 (3 Kombinationen).
Für jede der 3 · 3 = 9 Kombinationen gibt es dann wegen der 3 gleichen Augenzahlen noch 4! / 3! = 4 Permutationen (mit Wiederholung).

6. Ein Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen).
Die 3 übrigen Würfel erzielen die Augenzahl des ursprünglichen 1ers, die 1 und die 6 (1 Kombination).
Für jede der 3 · 1 = 3 Kombinationen gibt es dann noch 4! = 24 Permutationen.

7. Ein Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen). Zwei weitere Würfel erzielen erzielen 2 der 3 folgenden Augenzahlen:
Augenzahl des ursprünglichen 1ers, die 1 oder die 6 (3 Kombinationen). Der vierte Würfel erzielt eine der von den zwei weiteren Würfeln erzielte Augenzahl (2 Kombinationen).
Für jede der 3 · 3 · 2 = 18 Kombinationen gibt es dann wegen der 2 gleichen Augenzahlen noch 4! / 2! = 12 Permutationen (mit Wiederholung).

Insgesamt gibt es also 3·1 + 9·4 + 9·6 + 9·12 + 9·4 + 3·24 + 18·12 = 525 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 525/1296.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p19, 3. Faktor, 12/216)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p10 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p20, 2. Faktor, 81/1296)

Der Faktor 81/1296 ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem äußeren 2er oder inneren 1er wieder einen äußeren 2er oder inneren 1er zu machen.

Vor dem zweiten Wurf muss man hier nach den Regeln für eine optimale Strategie einen eventuell vorhandenen äußeren 2er zum inneren 1er reduzieren,
indem man die 1 und/oder die 6 verwirft. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.

Jede dieser 4 Würfel muss entweder die Augenzahl des inneren 1ers oder die 1 oder die 6 erzielen. Dafür gibt es 34 = 81 Variationen.

Insgesamt gibt es also 81 günstige Variationen von insgesamt 64 = 1296 Variationen und die Wahrscheinlichkeit beträgt 81/1296.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p20, 3. Faktor, 48/1296)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p15 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p21, p22, p23, p24, p25, p26, p27, 1. Faktor, 32/7776)

Der Faktor 32/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb einen äußeren 1er zu erzielen.

Jeder der 5 Würfel muss also entweder eine 1 oder eine 6 erzielen. Die Anzahl der Variationen dafür ist 25 = 32.

Insgesamt gibt es also 32 günstige Variationen und bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen beträgt die Wahrscheinlichkeit von 32/7776.


Große Straße in maximal 3 Würfen (p21, 2. Faktor, 240/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p1 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p22, 2. Faktor, 240/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p2 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p22, 3. Faktor, 2/6)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p2 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p23, 2. Faktor, 2400/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p4 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p24, 2. Faktor, 600/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p6 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p24, 3. Faktor, 4/36)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p6 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p25, 2. Faktor, 3420/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p10 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p25, 3. Faktor, 12/216)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p10 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p26, 2. Faktor, 844/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p15 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p26, 3. Faktor, 48/216)

Hier gelten die gleichen Überlegungen wie für p15 (2. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p27, 2. Faktor, 32/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p21 (1. Faktor).


Große Straße in maximal 3 Würfen (p27, 3. Faktor, 240/7776)

Der äußere 1er wird verworfen und es wird komplett neu (!) gewürfelt.
Deshalb gelten hier die gleichen Überlegungen wie für p1 (1. Faktor).



Einzelwahrscheinlichkeit für eine kleine Straße


Kleine Straße in maximal 3 Würfen (p1, 1. Faktor, 1200/7776)

Der Faktor 840/7776 ist die Wahrscheinlichkeit, auf Anhieb eine kleine Straße zu erzielen.

Für die reine kleine Straße gibt es zunächst die 3 Kombinationen 1234, 2345 und 3456. Der fünfte Würfel kann dann jeweils eine Augenzahl haben, die mit der Augenzahl von einem
der 4 übrigen Würfel übereinstimmt. Wegen des dann vorhandenen Zwillings ist die Zahl der Permutationen (mit Wiederholung) gleich 5! / 2! = 60.
Also gibt es hier 3 · 4 · 60 = 720 günstige Variationen.

Es fehlen noch die beiden Kombinationen 12346 und 13456, bei denen neben einer kleinen Straße zusätzlich eine 6 oder 1 auftaucht. Hier gibt es natürlich jeweils 5! = 120 Permutationen.
Zusammen sind das dann 2 · 120 = 240 günstige Variationen.

Insgesamt gibt es also 720 + 240 = 960 günstige Variationen. Bei einer Gesamtzahl von 65 = 7776 Variationen ist dann die Wahrscheinlichkeit für eine reine (!) kleine Straße gleich 960/7776.

Schließlich fehlen noch die beiden großen Straßen 12345 und 23456, weil eine große Straße ja auch als kleine Straße zählt. Hier gibt es natürlich auch jeweils 5! = 120 Permutationen.
Das sind dann 2 · 120 = 240 günstige Variationen.

Insgesamt sind es also 960 + 240 = 1200 günstige Variationen und die Wahrscheinlichkeit für eine kleine Straße beträgt 1200/7776.



Vergleich der optimalen Strategie mit einer alternativen Strategie


Einzelwahrscheinlichkeiten für ein Full-House, wenn man nach dem zweiten oder ersten Wurf einen Drilling und zwei Einlinge hat:

Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem zweiten Wurf neben dem Drilling nur einen Einling behalten und nur mit einem Würfel weiter würfeln.
Die Wahrscheinlichkeit, im dritten Wurf direkt ein Full House zu erzielen, ist dann 1/6 = 6/36 (siehe p5, 3.Faktor).

Behält man nach dem zweiten Wurf dagegen keinen Einling, muss man mit 2 Würfeln einen Zwilling würfeln, der nicht mit der Augenzahl des Drillings übereinstimmt.
Dafür gibt es 5 günstige Variationen bei insgesamt 62 = 36 Variationen. Die Wahrscheinlichkeit ist 5/36 und damit kleiner als bei der optimalen Strategie.


Entsprechend der optimalen Strategie muss man nach dem ersten Wurf neben dem Drilling einen Einling behalten und würfelt nur mit einem Würfel weiter.
Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf direkt ein Full House zu erzielen, ist dann natürlich 1/6 (siehe p4, 2.Faktor).
Und die Wahrscheinlichkeit, es erst mit dem dritten Wurf zu schaffen, beträgt (5/6)·(1/6) = 5/36.
Insgesamt ist für diese Strategie die Wahrscheinlichkeit dann (1/6) + (5/36) = 396/1296 (siehe p5, 2. und 3. Faktor).

Nun könnte man ja annehmen, dass es zwar nach dem zweiten Wurf günstiger wäre, nur einen Einling zu verwerfen,
aber nach dem ersten Wurf müsse man beide Einlinge verwerfen, weil man dann noch mehr Freiheiten habe, ein Full House zu erreichen.
Mit einer solchen alternativen Strategie schafft man im zweiten Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/36 ein Full House.
Die Wahrscheinlichkeit, einen Kniffel zu erzielen, beträgt 1/36. Dann muss man dann natürlich die beiden Würfel wieder verwerfen,
um im letzten Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/36 doch noch ein Full House zu schaffen.
Schließlich bekommt man mit einer Wahrscheinlichkeit von 30/36 im zweiten Wurf zwei Einlinge, von denen man für den letzten Wurf einen Einling verwirft,
um mit einem Würfel und einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 ein Full House zu erreichen.

Die Wahrscheinlichkeit für alle 3 Fälle zusammen beträgt dann (5/36) + (1/36)·(5/36) + (30/36)·(1/6) = 180/1296 + 5/1296 + 180/1296 = 365/1296
Diese alternative Strategie ist somit schlechter als die optimale Strategie. Weitere sinnvolle Strategien gibt es nicht.


Einzelwahrscheinlichkeiten für ein Full-House, wenn man nach dem zweiten oder ersten Wurf einen Zwilling und drei Einlinge hat:

Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem zweiten Wurf nur den Zwilling behalten und muss mit 3 Würfeln weiter würfeln.
Die Wahrscheinlichkeit, im dritten Wurf direkt ein Full House zu erzielen, ist 20/216 (siehe p13, 3.Faktor).

Behält man nach dem zweiten Wurf dagegen einen Einling, muss man mit den beiden übrigen Würfeln entweder nur die Augenzahl des Einlings (1 Variation) oder
sowohl die Augenzahl des Zwillings als auch die des Einlings erzielen (2 Variationen).
Es gibt hier also 3 günstige Variationen bei insgesamt 62 = 36 Variationen. Die Wahrscheinlichkeit ist 3/36 = 18/216 und damit kleiner als bei der optimalen Strategie.


Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem ersten Wurf nur den Zwilling behalten und muss mit 3 Würfeln weiter würfeln.
Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf direkt ein Full House zu erzielen, ist 20/216 (siehe p9, 2.Faktor).
Und die Wahrscheinlichkeit, es erst mit dem dritten Wurf zu schaffen,
beträgt (1/216)·(5/36) + (75/216)·(1/6) + (60/216)·(2/6) + (60/216)·(20/216) = 1375/7776 (siehe p10 - p13, 2. und 3. Faktor).
Insgesamt ist für die optimale Strategie die Wahrscheinlichkeit dann (20/216) + (1375/7776) = 2095/7776.

Behält man nach dem ersten Wurf neben dem Zwilling auch einen Einling, dann würfelt man bei dieser alternativen Strategie mit 2 Würfeln weiter. Dafür gibt es 5 Fälle:

1. Full House nach dem zweiten Wurf: Dazu muss man 12, 21 oder 22 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also 3/36 oder 648/7776.

2. Vierling nach dem zweiten Wurf: Dazu muss man 11 würfeln. Wahrscheinlichkeit: 1/36. Für den letzten Wurf muss man dann den Einling und vom Vierling einen Drilling behalten.
Um beim dritten Wurf ein Full House zu erzielen, muss man aus dem Einling einen Zwilling machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/6.
Insgesamt ist hier also die Wahrscheinlichkeit (1/36)·(1/6) = 1/216 = 36/7776.

3. Drilling nach dem zweiten Wurf: Dazu muss man 13, 31, 14, 41, 15, 51, 16 oder 61 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 8/36.
Für den letzten Wurf muss man dann einen Einling und und den Drilling behalten.
Um beim dritten Wurf ein Full House zu erzielen, muss man aus dem Einling einen Zwilling machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/6.
Insgesamt ist hier also die Wahrscheinlichkeit (8/36)·(1/6) = 8/216 = 288/7776.

4. Zwei Zwillinge nach dem zweiten Wurf: Dazu muss man 23, 32, 24, 42, 25, 52, 26, 62, 33, 44, 55 oder 66 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 12/36.
Für den letzten Wurf darf man dann nur die beiden Zwillinge behalten.
Um beim dritten Wurf ein Full House zu erzielen, muss man aus einem der beiden Zwillinge einen Drilling machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/6.
Insgesamt ist hier also die Wahrscheinlichkeit (12/36)·(2/6) = 24/216 = 864/7776.

5. Zwilling nach dem zweiten Wurf: Dazu muss man 34, 43, 35, 53, 36, 63, 45, 54, 46, 64, 56 oder 65 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 12/36.
Für den dritten Wurf darf man dann nur den Zwilling behalten. Um beim dritten Wurf ein Full House zu erzielen,
muss man entweder einen Drilling würfeln oder aus dem Zwilling einen Drilling machen und zusätzlich einen Zwilling würfeln.
Dafür gibt es die 20 Variationen 222, 333, 444, 555, 666, 122, 133, 144, 155, 166, 221, 331, 441, 551, 661, 212, 313, 414, 515, 616.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 20/216. Insgesamt ist hier also die Wahrscheinlichkeit (12/36)·(20/216) = 240/7776.
Die Wahrscheinlichkeit für alle 5 Fälle zusammen beträgt dann (3/36) + (1/36)·(1/6) + (8/36)·(1/6) + (12/36)·(2/6) + (12/36)·(20/216) = 2076/7776.
Diese alternative Strategie ist somit schlechter ist als die optimale Strategie. Weitere sinnvolle Strategien gibt es nicht.


Einzelwahrscheinlichkeiten für eine große Straße, wenn man nach dem zweiten oder ersten Wurf einen äußeren 3er hat:

Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem zweiten Wurf z.B. nur die beiden inneren Augenzahlen behalten. Man würfelt dann mit 3 Würfeln weiter.
Die Wahrscheinlichkeit, im dritten Wurf direkt eine große Straße zu erzielen, ist dann 12/216 (siehe p14, 3.Faktor).

Man kann nach dem zweiten Wurf aber auch die 1 oder die 6 behalten. Dann muss man mit den 2 übrigen Würfeln die 2 noch fehlenden inneren Augenzahlen würfeln (1 Kombination).
Für diese Kombination gibt es dann noch 2! = 2 Permutationen. Insgesamt sind das 1 · 2 = 2 günstige Variationen bei insgesamt 62 = 36 Variationen.
Die Wahrscheinlichkeit ist also 2/36 = 12/216. Auch diese Strategie ist also optimal.


Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem ersten Wurf nur die beiden inneren Augenzahlen behalten. Man würfelt dann mit 3 Würfeln weiter.
Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf direkt eine große Straße zu erzielen, ist dann natürlich 12/216 = 432/7776 (siehe p10, 2.Faktor).
Und die Wahrscheinlichkeit, es erst mit dem dritten Wurf zu schaffen, beträgt (18/216)·(2/6) + (84/216)·(1/6) + (38/216)·(4/36) + (64/216)·(12/216) = 1000/7776.
Insgesamt ist für diese optimale Strategie die Wahrscheinlichkeit dann (432/7776) + (1000/7776) = 1432/7776 (siehe p11 - p14, 2. und 3. Faktor).

Behält man dagegen nach dem ersten Wurf neben den beiden inneren Augenzahlen auch die 1 oder die 6, dann würfelt man bei dieser alternativen Strategie mit 2 Würfeln weiter. Dafür gibt es 4 Fälle:

1. Die beiden Würfel erzielen die beiden weiteren inneren Augenzahlen (1 Kombination, 2! = 2 Permutationen, also 2 Variationen). Wahrscheinlichkeit: 2/36

2. Beide Würfel erzielen zusammen nur eine weitere innere Augenzahl (2 Kombinationen, 2! / 2! = 1 Permutation, also 2 Variationen). Wahrscheinlichkeit: 2/36
Beim dritten Wurf mit dann nur noch einem Würfel wird die letzte innere Augenzahl gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 1/6).

3. Ein Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl, der andere eine der übrigen 4 Augenzahlen (2·4 = 8 Kombinationen, 2! = 2 Permutationen, also 16 Variationen). Wahrscheinlichkeit: 16/36
Beim dritten Wurf wird mit dann nur noch einem Würfel die letzte innere Augenzahl gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 1/6).

4. Es wird mit den beiden Würfeln keine der beiden noch fehlenden inneren Augenzahlen gewürfelt (42 = 16 Variationen). Wahrscheinlichkeit: 16/36
Beim dritten Wurf wird mit den beiden Würfeln die beiden letzten inneren Augenzahl gewürfelt (1 Kombination, 2! = 2 Permutationen, also 2 Variationen). Wahrscheinlichkeit: 2/36

Insgesamt ist für diese alternative Strategie die Wahrscheinlichkeit also (2/36) + (2/36)·(1/6) + (16/36)·(1/6) + (16/36)·(2/36) = 1272/7776.
Diese alternative Strategie ist somit schlechter ist als die optimale Strategie. Weitere sinnvolle Strategien gibt es nicht.


Einzelwahrscheinlichkeiten für eine große Straße, wenn man nach dem zweiten oder ersten Wurf einen äußeren 2er hat:

Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem zweiten Wurf nur die innere Augenzahl behalten. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.
Die Wahrscheinlichkeit, im dritten Wurf direkt eine große Straße zu erzielen, ist dann 48/1296 = 8/216 (siehe p20, 3.Faktor).

Behält man nach dem zweiten Wurf dagegen die 1 oder die 6, muss man mit den 3 übrigen Würfeln die 3 noch fehlenden inneren Augenzahlen würfeln (1 Kombination).
Für diese Kombination gibt es dann noch 3! = 6 Permutationen. Insgesamt sind das 1 · 6 = 6 günstige Variationen bei insgesamt 63 = 216 Variationen.
Die Wahrscheinlichkeit ist also 6/216 und damit kleiner als bei der optimalen Strategie.


Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem ersten Wurf nur die innere Augenzahl behalten. Man würfelt also mit 4 Würfeln weiter.
Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf direkt eine große Straße zu erzielen, ist dann natürlich 48/1296 = 288/7776 (siehe p15, 2.Faktor).
Und die Wahrscheinlichkeit, es erst mit dem dritten Wurf zu schaffen,
beträgt (60/1296)·(2/6) + (432/1296)·(1/6) + (150/1296)·(4/36) + (525/1296)·(12/216) + (81/1296)·(48/1296) = 845/7776.
Insgesamt ist für diese Strategie die Wahrscheinlichkeit dann (288/7776) + (845/7776) = 1133/7776 (siehe p16 - p20, 2. und 3. Faktor).

Behält man dagegen nach dem ersten Wurf neben der inneren Augenzahl auch die 1 oder die 6, dann würfelt man bei dieser alternativen Strategie mit 3 Würfeln weiter. Dafür gibt es 7 Fälle:

1. Die drei Würfel erzielen die drei weiteren inneren Augenzahlen (1 Kombination, 3! = 6 Permutationen, also 6 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 6/216

2. Alle drei Würfel erzielen zusammen nur eine weitere innere Augenzahl (3 Kombinationen, 3! / 3! = 1 Permutation, also 3 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 3/216. Beim dritten Wurf mit dann noch 2 Würfeln werden die beiden letzten inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

3. Zwei Würfel erzielen zwei weitere innere Augenzahlen, der dritte keine weitere innere Augenzahl (3·3 = 9 Kombinationen, 3! = 6 Permutationen, also 54 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 54/216. Beim dritten Wurf wird mit dann nur noch einem Würfel die letzte innere Augenzahl gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 1/6).

4. Zwei Würfel erzielen zusammen eine weitere innere Augenzahl, der dritte ebenfalls eine andere weitere innere Augenzahl (3·2 = 6 Kombinationen, 3! / 2! = 3 Permutationen, also 18 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 18/216. Beim dritten Wurf wird mit dann nur noch einem Würfel die letzte innere Augenzahl gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 1/6).

5. Zwei Würfel erzielen zusammen eine weitere innere Augenzahl, der dritte keine weitere innere Augenzahl (3·3 = 9 Kombinationen, 3! / 2! = 3 Permutationen, also 27 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 27/216. Beim dritten Wurf wird mit dann mit zwei Würfeln die letzten beiden inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

6. Ein Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl, die beiden anderen keine weitere innere Augenzahl, aber die gleiche Augenzahl (3·3 = 9 Kombinationen, 3! / 2! = 3 Permutationen, also 27 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 27/216. Beim dritten Wurf wird mit dann mit zwei Würfeln die letzten beiden inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

7. Ein Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl, die beiden anderen keine weitere innere Augenzahl, aber verschiedene Augenzahlen (3·3 = 9 Kombinationen, 3! = 6 Permutationen, also 54 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 54/216. Beim dritten Wurf wird mit dann mit zwei Würfeln die letzten beiden inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

8. Keiner der drei Würfel erzielt eine weitere innere Augenzahl. (33 = 27 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 27/216. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln die 3 letzten inneren Augenzahlen
und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296)

Insgesamt ist für diese alternative Strategie die Wahrscheinlichkeit also
(6/216) + (3/216)·(2/36) + (54/216)·(1/6) + (18/216)·(1/6) + (27/216)·(2/36) + (27/216)·(2/36) + (54/216)·(2/36) + (27/216)·(48/1296) = 906/7776.
Diese alternative Strategie ist somit schlechter ist als die optimale Strategie. Weitere sinnvolle Strategien gibt es nicht.


Einzelwahrscheinlichkeiten für eine große Straße, wenn man nach dem zweiten oder ersten Wurf einen äußeren 1er hat:

Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem zweiten Wurf nichts behalten. Man würfelt also komplett neu.
Die Wahrscheinlichkeit, im dritten Wurf direkt eine große Straße zu erzielen, ist dann 240/7776 = 40/1296 (siehe p27, 3.Faktor).

Behält man nach dem zweiten Wurf dagegen die 1 oder die 6, muss man mit den 4 übrigen Würfeln die 4 inneren Augenzahlen 2, 3, 4 und 5 würfeln (1 Kombination).
Für diese Kombination gibt es dann noch 4! = 24 Permutationen. Insgesamt sind das 1 · 24 = 24 günstige Variationen bei insgesamt 64 = 1296 Variationen.
Die Wahrscheinlichkeit ist also 24/1296 = 144/7776 und damit kleiner als bei der optimalen Strategie.


Entsprechend der optimalen Strategie darf man nach dem ersten Wurf nichts behalten. Man würfelt also komplett neu.
Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf direkt eine große Straße zu erzielen, ist dann natürlich 40/1296 (siehe p21, 2.Faktor).
Insgesamt ist für diese Strategie die Wahrscheinlichkeit dann
(40/1296) + (240/7776)·(2/6) + (2400/7776)·(1/6) + (600/7776)·(4/36)
+ (3420/7776)·(12/216) + (844/7776)·(48/1296) + (32/7776)·(240/7776) = 1.307.552/10.077.696 (siehe p22 - p27, 2. und 3. Faktor).

Behält man dagegen nach dem ersten Wurf die 1 oder die 6, dann würfelt man bei dieser alternativen Strategie mit 4 Würfeln weiter. Dafür gibt es 15 Fälle:

1. Die vier Würfel erzielen alle 4 inneren Augenzahlen (1 Kombination, 4! = 24 Permutationen, also 24 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 24/1296

2. Alle vier Würfel erzielen zusammen nur eine innere Augenzahl (4 Kombinationen, 4! / 4! = 1 Permutation, also 4 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 4/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln
die 3 übrigen inneren Augenzahlen und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296).

3. Drei Würfel erzielen drei verschiedene innere Augenzahlen, der vierte keine innere Augenzahl (4·2 = 8 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 192 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 192/1296. Beim dritten Wurf wird mit dann nur noch einem Würfel die letzte innere Augenzahl gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 1/6).

4. Drei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl, der vierte ebenfalls eine andere innere Augenzahl (4·3 = 12 Kombinationen, 4! / 3! = 4 Permutationen, also 48 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 48/1296. Beim dritten Wurf werden dann mit zwei Würfeln die beiden letzten inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

5. Drei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl, der vierte keine innere Augenzahl (4·2 = 8 Kombinationen, 4! / 3! = 4 Permutationen, also 32 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 32/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln
die 3 übrigen inneren Augenzahlen und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296).

6. Jeweils zwei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl (6 Kombinationen, 4! / (2!·2!) = 6 Permutationen, also 36 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 36/1296. Beim dritten Wurf werden dann mit zwei Würfeln die beiden letzten inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

7. Zwei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl, die beiden übrigen zwei weitere innere Augenzahlen
(4·3 = 12 Kombinationen, 4! / 2! = 12 Permutationen, also 144 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 144/1296. Beim dritten Wurf wird dann mit einem Würfel die letzte innere Augenzahl gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 1/6).

8. Zwei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl, der dritte ebenfalls eine andere innere Augenzahl, der vierte keine innere Augenzahl
(4·3·2 = 24 Kombinationen, 4! / 2! = 12 Permutationen, also 288 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 288/1296. Beim dritten Wurf werden dann mit zwei Würfeln die beiden letzten inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

9. Zwei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl, die beiden übrigen Würfel keine innere Augenzahl, aber gleiche Augenzahlen.
(4·2 = 8 Kombinationen, 4! / (2!·2!) = 6 Permutationen, also 48 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 48/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln
die 3 übrigen inneren Augenzahlen und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296).

10. Zwei Würfel erzielen zusammen eine gemeinsame innere Augenzahl, die beiden übrigen Würfel keine innere Augenzahl, aber verschiedene Augenzahlen.
(4·1 = 4 Kombinationen, 4! / 2! = 12 Permutationen, also 48 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 48/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln
die 3 übrigen inneren Augenzahlen und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296).

11. Zwei Würfel erzielen zwei verschiedene innere Augenzahlen, die beiden übrigen Würfel keine innere Augenzahl, aber gleiche Augenzahlen.
(6·2 = 12 Kombinationen, 4! / 2! = 12 Permutationen, also 144 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 144/1296. Beim dritten Wurf werden dann mit zwei Würfeln die zwei letzten inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

12. Zwei Würfel erzielen zwei verschiedene innere Augenzahlen, die beiden übrigen Würfel keine innere Augenzahl, aber verschiedene Augenzahlen.
(6·1 = 6 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 144 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 144/1296. Beim dritten Wurf werden dann mit zwei Würfeln die zwei letzten inneren Augenzahlen gewürfelt (Wahrscheinlichkeit: 2/36).

13. Ein Würfel erzielt eine innere Augenzahl, die drei übrigen Würfel keine innere Augenzahl, aber gleiche Augenzahlen.
(4·2 = 8 Kombinationen, 4! / 3! = 4 Permutationen, also 32 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 32/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln
die 3 übrigen inneren Augenzahlen und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296).

14. Ein Würfel erzielt eine innere Augenzahl, die drei übrigen Würfel keine innere Augenzahl, aber zwei gleiche und eine weitere Augenzahl.
(4·2 = 8 Kombinationen, 4! / 2! = 12 Permutationen, also 96 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 96/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 4 Würfeln
die 3 übrigen inneren Augenzahlen und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 4! = 24 Permutationen, also 48 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 48/1296).

15. Kein Würfel erzielt eine innere Augenzahl (42 = 16 Variationen).
Wahrscheinlichkeit: 16/1296. Die 1 oder 6 werden entsprechend der optimalen Strategie verworfen! Beim dritten Wurf werden also mit 5 Würfeln die 4 inneren Augenzahlen
und die 1 oder die 6 gewürfelt (1·2 = 2 Kombinationen, 5! = 120 Permutationen, also 240 Variationen, Wahrscheinlichkeit: 240/7776).

Insgesamt ist für diese alternative Strategie die Wahrscheinlichkeit also
(24/1296) + (4/1296)·(48/1296) + (192/1296)·(1/6) + (48/1296)·(2/36) + (32/1296)·(48/1296) + (36/1296)·(2/36) + (144/1296)·(1/6) + (288/1296)·(2/36) + (48/1296)·(48/1296)
+ (48/1296)·(48/1296) + (144/1296)·(2/36) + (144/1296)·(2/36) + (32/1296)·(48/1296) + (96/1296)·(48/1296) + (16/1296)·(240/7776) = 985.920/10.077.696.
Diese alternative Strategie ist somit schlechter ist als die optimale Strategie. Weitere sinnvolle Strategien gibt es nicht.


Copyright © Werner Brefeld, 2020 ... 2021 (Originalquelle)

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