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Hyperwürfel und seine Inkugel und Umkugel

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel (z.B. Hyperkugel im Hyperwürfel),
Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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26. Ein Quadrat hat etwa 63,7% der Fläche seines Umkreises, der zugehörige Inkreis aber etwa 78,5% der Fläche des Quadrates. Ein Quadrat schmiegt sich also stärker an seinen Inkreis als an seinen Umkreis. Vergleicht man das Volumen eines Würfels mit dem Volumen seiner Umkugel und dem seiner Inkugel, so findet man diesen Effekt sogar verstärkt. Betrachtet man dagegen Hyperwürfel in immer höheren Dimensionen, so findet man eine Dimension, in der dieser Effekt maximal wird, dann wieder abnimmt und sich schließlich sogar umkehrt. Ab welcher Dimension schmiegt sich ein Hyperwürfel stärker an seine Umkugel als an seine Inkugel?

Das Volumen V einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r beträgt (Γ = Gamma-Funktion): V = πn/2 · rn / Γ(n/2 + 1)
Für geradzahlige n gilt wegen Γ(n) = (n – 1)! die Gleichung: V = πn/2 · rn / (n/2)!
Wenn man definiert, dass (1/2)! = Γ(3/2) sein soll und ausnutzt, dass Γ(3/2) = √π / 2 und (n+1)! = (n+1) · n! ist, dann kann man die obige Gleichung und die folgenden Gleichungen auch für alle ganzzahligen n verwenden.

n-dimensional

Wenn eine Hyperkugel die Umkugel (Radius r = ru) eines n-dimensionalen Würfels mit der Seite a ist, so gilt:

a = 2 · ru / √n

Das Volumen für einen n-dimensionalen Würfel mit der Seite a beträgt: Vw = an = 2n · run / nn/2

Die Inkugel eines Hyperwürfels wiederum hat einen Radius ri von: ri = ru / √n

Damit beträgt das Volumen dieser Inkugel: Vi = πn/2 · run / (nn/2 · (n/2)!)

Das Verhältnis der Volumenverhältnisse beträgt dann: (Vw / Vu) / (Vi / Vw) = 22n / (πn · nn/2) · (n/2)!2

Ist dieses Verhältnis kleiner als Eins, schmiegt sich der Hyperwürfel stärker an seine Inkugel, ist es größer als Eins, schmiegt er sich stärker an seine Umkugel. Für ru = 1 enthält die folgende Tabelle die Werte für die Dimension, für die Volumina von Inkugel, Hyperwürfel und Umkugel, und für das Verhältnis der oben erwähnten Volumenverhältnisse:

DimensionVolumenVolumenVolumen (Vw / Vu) /
nVi derVw derVu der (Vi / Vw)
InkugelWürfelsUmkugel
 
  12,0000000002,0000002,0000  1,0000
  21,5707963252,0000003,1416  0,8106
  30,8061330501,5396014,1888  0,7020
  40,3084251371,0000004,9348  0,6570
  50,0941615200,5724335,2638  0,6611
  60,0239245960,2962965,1677  0,7101
  70,0052063960,1410484,7248  0,8088
  80,0009908970,0625004,0587  0,9713
  90,0001675820,0260123,2985  1,2241
100,0000255020,0102402,5502  1,6124
110,0000035270,0038341,8841  2,2120
120,0000004470,0013721,3353  3,1514



Nach der Stirlingschen Formel gilt für das Verhältnis der Volumenverhältnisse schon für kleine n in guter Näherung:

(Vw / Vu) / (Vi / Vw) = π · n · (2 · √n / π / e)n

Man erkennt aus der rechten Spalte der Tabelle, dass im zweidimensionalen bis achtdimensionalen Raum der Hyperwürfel mehr an seiner Inkugel anliegt. Im vierdimensionalen Raum ist dieser Effekt am größten. Ab der neunten Dimension schmiegt sich der Hyperwürfel stärker an seine Umkugel an. Die Näherungsformel zeigt, dass dieses Anschmiegen mit steigendem n immer stärker wird.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass sich eine bestimmte Beziehung zwischen einem Körper und seiner Inkugel und Umkugel nicht einfach ab einer bestimmten Dimension in ihr Gegenteil verkehren könne. Die folgenden Überlegungen zeigen, dass diese Intuition nicht ganz falsch ist, auch wenn sie uns im Falle des Würfels auf die falsche Fährte lockt.



Neben dem Hyperwürfel gibt es in allen n-dimensionalen Räumen auch noch den Tetraeder (Simplex) und den Oktaeder (Kreuzpolytop). Für diese Körper kann man die gleichen Überlegungen wie oben anstellen. Dazu braucht man wieder die entsprechenden Formeln:

Volumen der n-dimensionalen Umkugel: Vu = πn/2 · run / (n/2)!

Seite a des n-dimensionalen Tetraeders: a = 21/2 · (n+1)1/2 · ru / √n

Volumen des n-dimensionalen Tetraeders mit Seite a: Vt = (n+1)1/2 · an / 2n/2 / n! = (n+1)(n+1)/2 · run / nn/2 / n!

Volumen der n-dimensionalen Inkugel: Vi = πn/2 · run / (nn · (n/2)!)

Das Verhältnis der Volumenverhältnisse beträgt dann: (Vt / Vu) / (Vi / Vt) = (n + 1)n+1 / πn · (n/2)!2 / n!2

Daraus ergibt sich die folgende Tabelle (ru = 1):

DimensionVolumenVolumenVolumen(Vt / Vu) /
nVi derVt derVu der (Vi / Vt)
InkugelTetraedersUmkugel
 
  12,0000000000002,0000000002,00001,0000
  20,7853981625001,2990381063,14160,6839
  30,1551403777780,5132002394,18880,4053
  40,0192765710520,1455773424,93480,2228
  50,0016844124800,0321993795,26380,1169
  60,0001107620190,0058352155,16770,0595
  70,0000057371210,0008955434,72480,0296
  80,0000002419180,0001191824,05870,0145
  90,0000000085140,0000140013,29850,0070
100,0000000002550,0000014722,55020,0033
110,0000000000070,0000001401,88410,0016
120,0000000000000,0000000121,33530,0007



Nach der Stirlingschen Formel gilt für das Verhältnis der Volumenverhältnisse schon für kleine n in guter Näherung:

(Vt / Vu) / (Vi / Vt) = (n + 1)/2 · (1 + 1/n)n · (e / 2π)n

Man erkennt, dass das Verhältnis für steigendes n immer kleiner wird. Der n-dimensionale Tetraeder schmiegt sich also immer stärker an seine Inkugel an und zeigt damit nicht das verblüffende Verhalten des Hyperwürfels.



Zum Schluß noch die entsprechenden Formeln für den n-dimensionalen Oktaeder mit seiner Inkugel und Umkugel:

Volumen der n-dimensionalen Umkugel: Vu = πn/2 · run / (n/2)!

Seite a des n-dimensionalen Oktaeders: a = 21/2 · ru

Volumen des n-dimensionalen Oktaeders mit Seite a: Vo = 2n/2 · an / n! = 2n · run / n!

Volumen der n-dimensionalen Inkugel: Vi = πn/2 · run / (nn/2 · (n/2)!)

Das Verhältnis der Volumenverhältnisse beträgt dann: (Vo / Vu) / (Vi / Vo) = 22n / πn · nn/2 · (n/2)!2 / n!2

Daraus folgt schließlich die letzte Tabelle (ru = 1):

DimensionVolumenVolumenVolumen(Vo / Vu) /
nVi derVo derVu der (Vi / Vo)
InkugelOktaedersUmkugel
 
  12,0000000002,0000002,00001,0000
  21,5707963252,0000003,14160,8106
  30,8061330501,3333334,18880,5265
  40,3084251370,6666674,93480,2920
  50,0941615200,2666675,26380,1435
  60,0239245960,0888895,16770,0639
  70,0052063960,0253974,72480,0262
  80,0009908970,0063494,05870,0100
  90,0001675820,0014113,29850,0036
100,0000255020,0002822,55020,0012
110,0000035270,0000511,88410,0004
120,0000004470,0000091,33530,0001



Nach der Stirlingschen Formel gilt für das Verhältnis der Volumenverhältnisse schon für kleine n in guter Näherung:

(Vo / Vu) / (Vi / Vo) = 1/2 · (2e / (π · √n))n

Man erkennt, dass auch hier das Verhältnis für steigendes n immer kleiner wird. Der n-dimensionale Oktaeder schmiegt sich also auch immer stärker an seine Inkugel an und zeigt damit ebenfalls nicht das verblüffende Verhalten des Hyperwürfels.



Eine Hyperkugel mit dem Radius r hat übrigens in der n-ten Dimension die Oberfläche O = 2 · πn/2 · rn – 1 / (n/2 – 1)!.

Und ein Hyperwürfel mit der Seite a hat die Oberfläche Ow = 2n · an – 1.


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