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Der Wanderer und die drei Himmelsrichtungen

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


33. Ein Wanderer läuft erst einen Kilometer nach Süden, dann einen Kilometer nach Osten und schließlich einen Kilometer nach Norden. Danach befindet er sich wieder am Ausgangspunkt. Wo auf der Erde befindet sich dieser Ausgangspunkt?

Der Nordpol erfüllt die im Rätsel genannten Bedingungen. Der Wanderer läuft also vom Nordpol aus einen Kilometer nach Süden. Auf seinem Weg nach Osten muss der Wanderer einen Kreisbogen laufen, weil eine Wanderung mit gleichbleibender Richtung immer mehr Richtung Süden führen würde. Da sich der Wanderer auf dem Weg nach Osten immer genau einen Kilometer vom Nordpol entfernt befindet, führt ihn sein abschließender Weg nach Norden zum Nordpol zurück. Die folgende Abbildung veranschaulicht den Wanderweg:

nordpol

Der Südpol ist dagegen keine Lösung, denn vom Südpol aus kann man nicht nach Süden gehen. Man kann zunächst nur nach Norden gehen. Allerdings gibt es neben der oben beschriebenen Lösung noch unendlich viele weitere, die alle in der Nähe des Südpols liegen. Der Wanderer kann nämlich auch (1 + 1/2π) km = 1,159155 Kilometer vom Südpol entfernt starten. Nachdem er einen Kilometer nach Süden gelaufen ist, befindet er sich nur noch 1/2π km = 0,159155 Kilometer vom Südpol entfernt. Dies entspricht dem Radius eines Kreises mit einem Umfang von einem Kilometer. Der einen Kilometer lange Weg nach Osten führt den Wanderer deshalb auf einem Kreis genau einmal um den Südpol herum. Der Weg nach Norden bringt ihn dann wieder zu seinem Ausgangspunkt zurück. Es gibt überabzählbar unendlich viele Ausgangspunkte, die (1 + 1/2π) km vom Südpol entfernt liegen, und entsprechend viele Lösungen.

suedpol

Erstaunlicherweise gibt es zu jeder dieser unendlichen vielen Lösungen weitere unendlich viele Lösungen. Der Ausgangspunkt kann sich nämlich auch (1 + 1/4π) km, (1 + 1/6π) km, (1 + 1/8π) km, usw. vom Südpol entfernt befinden. Nachdem der Wanderer einen Kilometer nach Süden gelaufen ist, befindet er sich nur noch 1/4π km, 1/6π km, 1/8π km, usw. vom Südpol entfernt. Sein Weg nach Osten einmal um den Südpol herum hat deshalb nur eine Länge von 1/2 km, 1/3 km, 1/4 km, usw. Der Wanderer muss also den Südpol zweimal, dreimal, viermal, usw. umrunden, um auf einen Kilometer zu kommen, bevor ihn sein Weg nach Norden wieder zum Ausgangspunkt zurückbringt. Für die Entfernung des Ausgangspunkts vom Südpol gibt es also ebenfalls unendlich viele Möglichkeiten, allerdings nur abzählbar unendlich viele.

Es sei noch erwähnt, dass die angegebenen Entfernungen zum Südpol zwar sehr genau, aber nicht exakt sind. Der Südpol ist nämlich nicht der Mittelpunkt des geschlossenen Kreises mit einem Umgang von z.B. einem Kilometer, weil die Erdoberfläche nicht eben, sondern kugelförmig gekrümmt ist. Dieser Effekt ist allerdings bei Entfernungen von ungefähr einem Kilometer sehr klein.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben zunächst viele, dass es für dieses Rätsel keine Lösung gebe. Wenn sie dann schließlich den Nordpol als Lösung gefunden haben, sind sie davon überzeugt, dass das die einzige Lösung sei.


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