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Geodätische Kuppeln

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Rowohlt-Taschenbuch "Voll auf die 12 - Besser durchs Leben mit Mathematik"

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Was sind geodätische Kuppeln und wie erzeugt man sie?

Möchte man eine Kuppel möglichst kugelförmig aus ebenen Flächen zusammensetzen, so sollte man Dreiecke verwenden, die möglichst gleichseitig sind und deren Ecken alle auf einer Kugeloberfläche liegen. Mit exakt gleichseitigen Dreiecken kommt man nicht weit, da die Mathematik nur drei solcher Körper ermöglicht. Befinden sich an jeder Ecke drei gleichseitige Dreiecke, ist der Körper ein Tetraeder. Man wird hier kaum von einer annähernd kugelförmigen Gestalt reden können. Ein Oktaeder hat vier Dreiecke an jeder Ecke und ist schon deutlich "runder". Beim Ikosaeder mit seinen fünf gleichseitigen Dreiecken an jeder Ecke hat man zum ersten Mal das Gefühl, mit einem annähernd kugelförmigen Körper zu tun zu haben. Leider ergeben sechs gleichseitige Dreiecke an einer Ecke keinen Körper mehr, da die entsprechenden sechs Innenwinkel der Dreiecke zusammen 360° ergeben. Man kann damit allerdings ein ebenes Parkett herstellen. Ein solches Parkett lässt sich natürlich auch interpretieren als Oberfläche eines unendlich großen kugelförmigen Körpers. Dieser "Körper" hat zwar eine ideale "Oberfläche", schießt aber wegen seiner Unendlichkeit über das gesteckte Ziel hinaus.

Deshalb ist der Gedanke naheliegend, Ecken mit fünf und sechs Dreiecken möglichst regelmäßig zu kombinieren. Die Ecken mit fünf Dreiecken hätten dabei für die Krümmung der Oberfläche zu sorgen. Ihre regelmäßige Anordnung würde einen angenähert kugelförmigen Körper erzeugen, wenn man alle Ecken auf einer Kugeloberfläche platziert. Allerdings geht das nicht mehr mit exakt gleichseitigen Dreiecken. Aber dieses Verfahren führt tatsächlich zu den oben gesuchten Kuppeln. Sie heißen geodätische Kuppeln und werden verwendet für Sternwarten, Planetarien, Radaranlagen, Ausstellungshallen, Gewächshäuser usw.

Diese geodätischen Kuppeln unterliegen einer interessanten Randbedingung. Zunächst gilt der Eulersche Polyedersatz, der eine Beziehung zwischen der Anzahl der Flächen (F), der Kanten (K) und der Ecken (E) herstellt:

F + E – K = 2

Da wir nur Polyeder mit Dreiecksflächen betrachten, jedes Dreieck drei Kanten hat, sich die Kanten aber mit jeweils einem Nachbardreieck teilen muss, gilt hier außerdem:

K = 3/2 · F

Oben eingesetzt:

F + E – 3/2 · F = 2
E = 1/2 · F + 2

Von jeder Fünferecke (E5) gehen 5 Kanten aus. Jeder Kante gehört aber gleichzeitig zu einer anderen Ecke. Das gilt entsprechend für die Sechserecken (E6). Damit muss gelten:

5/2 · E5 + 6/2 · E6 = K = 3/2 · F
5 · E5 + 6 · (E – E5) = 3 · F
E5 = 6 · E – 3 · F
E5 = 3 · F + 12 – 3 · F

E5 = 12

Die geodätischen Kuppeln besitzen also immer genau 12 Fünferecken. Die gleichmäßigste Verteilung dieser Fünferecken entsteht, wenn sie zueinander genau so angeordnet werden wie die 12 Fünferecken eines Ikosaeders, das man auch als die einfachste geodätische Kuppel auffassen kann.

Der einfachste Weg, geodätische Kuppeln zu konstruieren, besteht darin, das eben erwähnte Ikosaeder als Ausgangskörper zu verwenden. Man teilt dabei die gleichseitigen Dreiecke des Ikosaeders in 4, 9, 16, usw. gleichseitige und gleich große kleinere Dreiecke auf (siehe Abbildung). Man erhält also n2 kleinere Dreiecke, wobei n eine positive ganze Zahl ist. Dabei entstehen auf den Seiten eines Ikosaeder-Dreiecks gleich viele und gleich lange Abschnitte. Außerdem bilden sich zusätzliche Sechserecken. Diese projiziert man vom Ikosaeder-Mittelpunkt auf die Oberfläche der Umkugel. Die dabei neu entstehenden Dreiecke bilden in ihrer Gesamtheit eine geodätische Kuppel (Verfahren I). In je mehr kleinere Dreiecke die Ikosaeder-Dreiecke aufgeteilt werden, desto kugelförmiger wird die so erzeugte geodätische Kuppel.

geodaetische-dreiecke



geodaetische-kuppel-80

Nach der Projektion sind die Dreiecke allerdings weder gleichseitig noch gleich groß. Dieses Problem lässt sich grundsätzlich nicht vermeiden. Man kann aber gleichmäßigere Dreiecke bekommen als bei dem eben beschriebenen einfachen Verfahren. Dazu versieht man die Seiten des Ikosaeder-Dreiecks so mit Markierungen, dass nach Projektion dieser Markierungen auf die Umkugel die dazwischenliegenden geraden Teilstrecken gleich lang werden. Die Markierungen auf den Ikosaederseiten verbindet man dann in gleicher Weise wie beim einfachen Verfahren. Allerdings schneiden sich dann nicht mehr jeweils 3 Strecken in einem Punkt wie oben, sondern sie bilden stattdessen ein mehr oder weniger kleines gleichseitiges Dreieck. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke werden ebenfalls markiert. Alle Markierungen bilden dann nach Projektion auf die Umkugel die Sechserecken der neuen geodätischen Kuppel (Verfahren II).

Allgemein besitzen diese geodätischen Kuppeln F = 20 · n2 Dreiecke, wobei n eine ganze Zahl größer Null ist.
Die beiden Abbildungen zeigen die einfachsten geodätischen Kuppeln, die man aus einem Ikosaeder konstruieren kann. Sie besitzen 80 bzw. 180 Dreiecke auf der Oberfläche.


geodaetische-kuppel-180

Die geodätische Kuppel mit 180 Dreiecken kann man noch nach einem weiteren Verfahren herstellen. Dazu nimmt man das abgestumpfte Ikosaeder als Ausgangskörper und unterteilt die 20 Sechsecke in 6 gleichseitige Dreiecke und die 12 Fünfecke in 5 gleichschenklige Dreiecke. Anschließend projiziert man die neu entstandenen Sechserecken und Fünferecken vom Mittelpunkt des abgestumpften Ikosaeders auf die Oberfläche der Umkugel. Im Ergebnis ist dieses Verfahren identisch mit dem Verfahren I.



Die folgende Tabelle stellt Eigenschaften solcher Kuppeln mit bis zu 2000 Dreiecken zusammen
(Anordnung und Länge der einzelnen Kanten errechnet man am besten mit einem Computer-Programm.):


Abstand n derAnzahl derAnzahlAnzahlAnzahlAnzahl derAnzahl der
FünfereckenDreiecke proderderderunterschiedlichenunterschiedlichen
in SeitenlängenAusgangs-DreieckeEckenKantenDreiecke *Kantenlängen
der DreieckedreieckVerfahren I (II)Verfahren I (II)
 
  1 (Ikosaeder)    1    20    12    301 (1)1 (1)
  2 (Tetra-Ikosaeder)    4    80    42  1202 (2)2 (2)
  3    9  180    92  2702 (3)3 (3)
  4  16  320  162  4806 (6)6 (5)
  5  25  500  252  7509 (9)9 (7)
  6  36  720  36210808 (12)9 (10)
  7  49  980  492147017 (17)16 (13)
  8  641280  642192022 (22)20 (17)
  9  811620  812243018 (27)20 (21)
1010020001002300034 (34)30 (26)

* Spiegelsymmetrische Dreiecke gelten als unterschiedlich.

Aus den Kuppeln mit n = 2, 4, 6, 8 und 10 lassen sich gut Halbkuppeln konstruieren.
Diese Halbkuppeln haben dann jeweils die Hälfte der Dreiecke und 65, 250, 555, 980 und 1525 Kanten.
Die unteren Kanten dieser Halbkuppeln liegen sogar exakt in einer Ebene, wenn man sie nach Verfahren I konstruiert.
Dazu müssen aber an der Spitze der Halbkuppel 5 Dreiecke zusammenstoßen. Der Grund dafür ist, dass ein in der Mitte
durchgeschnittenes in gleicher Weise orientiertes Ikosaeder als Schnittfläche ein ebenes regelmäßiges Zehneck besitzt.



geodaetische-kuppel-60

Eine weitere Möglichkeit zur Konstruktion geodätischer Kuppeln ist die Nutzung des Dodekaeders als Ausgangskörper. Dazu verbindet man die Ecken der 12 Fünfecke mit dem Mittelpunkt des jeweiligen Fünfecks und erhält so die 12 Fünferecken, die man wieder auf die Umkugel übertragen muss. Aus dieser eindeutig definierten geodätischen Kuppel mit 60 gleichschenkligen Dreiecken kann man wieder eine Serie von geodätischen Kuppeln erzeugen, indem man - wie oben - die Dreiecke nach einem der beiden Verfahren weiter unterteilt. Allerdings muss man dabei beachten, dass man die Schritte für die unterschiedlich langen Seiten der gleichschenkligen Dreiecke getrennt durchführt. Was die geodätische Kuppel mit 60 Dreiecken angeht, so sollte man sie nicht mit dem sehr ähnlichen Pentakisdodekaeder verwechseln, der als catalanischer Körper dual zum abgestumpften Ikosaeder ist. Der Pentakisdodekaeder besitzt nämlich keine Umkugel.

Diese vom Dodekaeder abgeleiteten geodätischen Kuppeln haben F = 60 · n2 Dreiecke, wobei n eine ganze Zahl größer Null ist.
Die beiden Abbildungen zeigen die so konstruierten geodätischen Kuppeln mit 60 und 240 Dreiecken.


geodaetische-kuppel-240


Die folgende Tabelle stellt wieder Eigenschaften solcher Kuppeln mit bis zu 2000 Dreiecken zusammen
(Anordnung und Länge der einzelnen Kanten errechnet man am besten mit einem Computer-Programm.):


Abstand n derAnzahl derAnzahlAnzahlAnzahlAnzahl derAnzahl der
FünfereckenDreiecke proderderderunterschiedlichenunterschiedlichen
in SeitenhöhenAusgangs-DreieckeEckenKantenDreiecke *Kantenlängen
der DreieckedreieckVerfahren I (II)Verfahren I (II)
 
  2  1    60  32    901 (1)2 (2)
  4  4  240122  3604 (4)4 (4)
  6  9  540272  8109 (9)9 (7)
  816  960482144016 (16)14 (12)
10251500752225025 (25)22 (18)

* Spiegelsymmetrische Dreiecke gelten als unterschiedlich.



geodaetische-kuppel-140



Die beiden erwähnten Serien sind die einzigen, bei denen die Körper Symmetrieebenen besitzen. Es gibt zusätzlich noch unendlich viele Serien von "verdrehten" geodätischen Kuppeln. Die einfachste dieser Serien entsteht, wenn man das abgeschrägte Dodekaeder als Ausgangskörper nimmt, die 80 Dreiecke zunächst nicht ändert und mit den 12 Fünfecken wie beim Dodekaeder verfährt. Die Abbildung zeigt die einfachste geodätische Kuppel dieser Serie. Sie besitzt 140 Dreiecke.




Und hier kommt die Tabelle mit den Eigenschaften der einfachsten Serie der "verdrehten" geodätischen Kuppeln mit bis zu 2000 Dreiecken:


Abstand n derAnzahl derAnzahlAnzahlAnzahl
FünfereckenDreiecke proderderder
in SeitenlängenAusgangs-DreieckeEckenKanten
der Dreieckedreieck
 
ca. 2,5  1  140  72  210
ca. 5  4  560282  840
ca. 7,5  912606321890




duale-kuppel-42



Interessant sind auch die zu den geodätischen Kuppeln dualen Polyeder. Sie besitzen neben 12 regelmäßigen Fünfecken nur Sechsecke auf ihrer Oberfläche und werden ebenfalls zum Kuppelbau verwendet. Der einfachste derartige Körper ist das Dodekaeder (12 Fünfecke, keine Sechsecke). Es ist dual zum Ikosaeder und das Ausgangspolyeder einer Serie, die F = 10 · n2 + 2 Flächen (12, 42, 92, 162, 252, 362, 492, 642, 812, 1002, ...) besitzt. Die Abbildungen zeigen die beiden nächsten Polyeder dieser Serie, nämlich den "großen Fußball" 42 Flächen (12 Fünfecke und 30 Sechsecke) und den dualen Körper mit 92 Flächen (12 Fünfecke und 80 Sechsecke). Den "großen Fußball" kann man durch das Abstumpfen der Fünferecken eines Rhombentriakontaeders (dual-archimedischer oder catalanischer Körper) herstellen und eine geodätische Kuppel mit 60 Dreiecken kann man durch Abstumpfen in den dualen Körper mit 92 Flächen umwandeln.



duale-kuppel-92



duale-kuppel-32



Eine zweite Serie hat F = 30 · n2 + 2 Flächen (32, 122, 272, 482, 752, ...) und ist dual zu den geodätischen Kuppeln mit 60, 240, 540, ... Dreiecken. Sie beginnt mit dem abgestumpften Ikosaeder (Fußballkörper), der 32 Flächen (12 Fünfecke und 20 Sechsecke) besitzt. Wie der Name schon sagt, erhält man diesen Körper durch das Abstumpfen eines Ikosaeders. Danach folgt ein dualer Körper mit 122 Flächen (12 Fünfecke und 110 Sechsecke) auf der Oberfläche. Ihn kann man durch Abstumpfen der geodätischen Kuppel herstellen, die 80 Dreiecke besitzt.



duale-kuppel-122



duale-kuppel-72



Schließlich zeigt die letzte Abbildung den dualen Körper zur einfachsten "verdrehten" geodätischen Kuppel. Er besitzt 72 Flächen (12 Fünfecke und 60 Sechsecke) auf der Oberfläche. Man kann ihn durch Abstumpfen der Fünferecken eines Pentagonhexakontaeders (dual-archimedischer oder catalanischer Körper) herstellen.




Die oben erwähnten platonischen Körper und archimedischen Körper findet man auf der Web-Seite über reguläre und halbreguläre Polyeder.


Links zum Thema:

Wikipedia: Archimedische Körper
Wikipedia: Catalanische Körper
Jürgen Köller: Deltaeder
Jürgen Köller: Die Kuppeln unter den Johnson-Körpern
Arndt Brünner: Platonische und Archimedische Körper
Kathrin Hofacker: Konvexe Polyeder und ihre Behandlung im Unterricht


Referenz: Reguläre und halbreguläre Polyeder (Tiberiu Roman, Deutsch Taschenbücher, Band 56)


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