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Schachbrett, Euromünzen und die Exponentialfunktion

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben


31. Auf das erste Feld eines Schachbretts wird eine Euromünze mit einer Dicke von 2,33 Millimeter gelegt, auf das zweite Schachfeld werden zwei Euromünzen gelegt, auf das dritte Schachfeld wieder die doppelte Anzahl usw.. Anschließend wird mit allen Euromünzen zusammen ein Turm gebaut. Wie hoch ist dieser Turm und womit ist seine Höhe vergleichbar?

Mathematisch ausgedrückt liegen also auf dem ersten Schachfeld 20 Euromünzen, auf dem zweiten Schachfeld 21 Euromünzen, auf dem dritten Schachfeld sind es 22 Euromünzen und schließlich befinden sich auf dem 64. Schachfeld 263 Euromünzen. Die Zahl der Euromünzen pro Schachfeld wächst also mit der Exponentialfunktion 2x an. Insgesamt sind dann auf dem Schachbrett 20 + 21 + 22 + ... + 263 = 264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Euromünzen.

Stapelt man nun diese Euromünzen übereinander, bekommt man einen Turm mit einer Höhe von

18.446.744.073.709.551.615 · 2,33 Millimeter = 42,98 Billionen Kilometer.

Dieser Turm ist so hoch, dass die Angabe in Kilometer nicht mehr sinnvoll ist.
Welchen Wert bekommt man, wenn die Höhe in Lichtjahren ausdrückt wird?

In einer Sekunde legt das Licht etwa 299.792 Kilometer zurück.
Pro Tag wären das 24 · 60 · 60 · 299.792 Kilometer oder 25,902 Milliarden Kilometer.
Schließlich schafft das Licht pro Jahr 365,25 · 25,902 Milliarden Kilometer oder 9,46 Billionen Kilometer.

Für die oben erwähnte Höhe von 42,98 Billionen Kilometer braucht das Licht somit etwa 4,54 Jahre.
Alpha Centauri, der nächste Fixstern, ist etwa 4,4 Lichtjahre von der Erde entfernt.

Der Turm aus Euromünzen würde also etwas weiter als bis zum nächsten Fixstern Alpha Centauri reichen. Dabei ist Alpha Centauri schon fast 300.000-mal weiter von der Erde entfernt als die Sonne und mehr als 100 Millionen-mal weiter als der Mond.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, dass die Zahl der Euromünzen nicht so rasant ansteigt. Die Intuition erkennt nicht, dass die Exponentialfunktion schon für kleine Werte im Exponenten extrem große Ergebnisse liefert.


Copyright © Werner Brefeld, 2009 ... 2017 (Originalrätsel)

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